Sujet et corrigé de l'exercice 5 du bac S de maths d'avril 2016 à Pondichéry
Cacher les corrigés
On souhaite stériliser une boîte de conserve.
Pour cela, on la prend à la température ambiante 
C et on la place dans un four à
température constante 
C.
La stérilisation débute dès lors que la température de la boîte est supérieure à 
C.
Les deux parties de cet exercice sont indépendantes
Partie A : Modélisation discrète
Pour 
entier naturel, on note 
la température en degré Celsius de la boîte au bout de
minutes. On a donc 
.
Pour non nul, la valeur est calculée puis affichée par l'algorithme suivant :
1. Déterminer la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes.
Arrondir à l'unité.
En utilisant l'algorithme la variable 
prend successivement les valeurs indiquées dans le tableau ci-dessous :
Donc arrondi à l'unité la température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est 54° C.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel , on a 
.
Soit 
: « 
»
Montrons par récurrence, que est vraie pour tout entier naturel .
Initialisation au rang 0
Donc 
est vraie.
Hérédité
Supposons qu'à un rang 
; 
soit vraie, c'est à dire que 
.
Montrons qu'alors 
est vraie.
Donc est vraie.
La propriété considérée est vraie au rang 0 et elle est héréditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel .
3. Au bout de combien de minutes la stérilisation débute-elle ?
On résout l'inéquation 
où est un entier naturel.
En appliquant la fonction logarithme (strictement croissante sur 
) à chaque membre cela équivaut à :
Avec 
.
Donc la stérilisation débute au bout de 10 minutes.
Partie B : Modélisation continue
Dans cette partie, 
désigne un réel positif.
On suppose désormais qu'à l'instant (exprimé en minutes), la température de la boîte est
donnée par 
(exprimée en degré Celsius) avec :
1.
a) Etudier le sens de variations de 
sur 
.
La fonction est dérivable sur 
et nous avons :
avec 
; 
comme 
; 
et pour tout 
, 
, donc 
ce qui montre que est strictement croissante sur .
b) Justifier que si 
alors 
.
Comme est croissante, si 
, alors 
; or :
ce qui donne bien 
.
2. Soit 
un réel supérieur ou égal à 10.
On note 
le domaine délimité par les droites d'équation 
, 
, 
et la courbe représentative 
de .
On considère que la stérilisation est finie au bout d'un temps , si l'aire, exprimée en unité
d'aire du domaine est supérieure à 
.
a) Justifier, à l'aide du graphique, que l'on a 
.
Sur le graphique chaque rectangle de la grille du repère représente 25 u.a. On évalue par lecture graphique que l'aire du domaine considéré est supérieure à l'aire de 4 rectangles soit supérieure à 100 u.a. donc 
.
b) Justifier que, pour 
, on a 
.
Pour tout ; donc est située au dessus de la droite d'équation 
. Par conséquent pour 
:
c) La stérilisation est-elle finie au bout de 20 minutes ?
On calcule 
:
Une primitive sur 
de la fonction 
est 
.
Donc la stérilisation n'est pas terminée au bout de 20 minutes puisque 
.
