Sujet et corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths d'avril 2016 à Pondichéry
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Soit la fonction définie sur
par
La courbe représentative de la fonction
est donnée dans le repère orthogonal d'origine O ci-dessous :
A tout point appartenant à
on associe le point
projeté orthogonal de
sur l'axe des abscisses, et le point
projeté orthogonal de
sur l'axe des ordonnées.
L'aire du rectangle
est-elle constante quelle que soit la position du point
sur
?
L'aire du rectangle
peut-elle être maximale ?
Si oui, préciser les coordonnées du point
correspondant.
Justifier les réponses.
Soit appartenant à
, alors
et
.
Du coup l'aire de est
u.a.
Cette expression n'est pas constante donc l'aire du rectangle n'est pas constante.
On étudie maintenant la fonction définie sur par
.
Cette fonction est dérivable sur l'intervalle considéré et on a :
On étudie sur le signe de
:
On a le tableau de variations :
Donc la fonction admet un maximum sur
atteint pour
. Le point M a pour ordonnée :
Donc .