Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2016 en métropole
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Partie A
Soit la fonction définie sur
par
1. Résoudre dans l'équation :
.
2. Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l'exception de la limite de la fonction en
que l'on admet.
La fonction est dérivable sur
et on a :
où ;
Pour tout ,
et ne s'annule que pour
et pour
c'est la même chose. Il s'ensuit que
est strictement croissante sur
.
Limite de en
:
et par somme
.
;
donc par composée :
et en opposant :
et par somme :
.
3. Montrer que, pour tout réel appartenant à
,
appartient à
.
Pour tout réel :
Comme par ailleurs est croissante sur
, les images par
sont rangées dans le même ordre soit :
avec :
Du coup : .
4. On considère l'algorithme suivant :
a) Que fait cet algorithme ?
Cet algorithme détermine la plus petite valeur de entière telle que
où
est un nombre entier naturel entré par l'utilisateur.
b) Déterminer la valeur fournie par l'algorithme lorsque la valeur saisie pour
est 100.
En utilisant la calculette on trouve .
Partie B
Soit la suite définie par
et, pour tout entier naturel
,
.
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel ,
appartient à
.
Soit : «
appartient à
».
Initialisation au rang 0
, donc
.
Hérédité
Supposons que pour un entier ,
soit vraie c'est à dire
; montrons qu'alors
est également vraie.
On remarque déjà que pour tout entier naturel ,
où
est la fonction étudiée dans la partie A.
Donc est vraie.
Ainsi est vraie pour
et est héréditaire donc
est vraie pour tout entier naturel
.
2. Etudier les variations de la suite .
Pour tout entier naturel :
donc
or donc
et
.
Du coup pour tout entier naturel ,
soit
ce qui montre que
est décroissante.
3. Montrer que la suite est convergente.
Pour tout entier naturel ,
, donc
est minorée par 0 et comme de plus la suite est décroissante on peut affirmer d'après le théorème de convergence monotone qu'elle converge.
4. On note sa limite, et on admet que
vérifie l'égalité
.
En déduire la valeur de .
Il s'agit de résoudre l'équation .
En utilisant le résultat de A.1, on obtient .