Sujet et corrigé de l'exercice 5 du bac S de maths de mai 2016 au Liban
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On considère la suite de nombres complexes définie pour tout entier naturel
par :
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note le point d'affixe
.
On considère le nombre complexe et A le point du plan d'affixe
.
1. Soit la suite définie pour tout entier naturel
par
.
a) Montrer que, pour tout entier naturel .
Pour tout entier naturel :
b) Démontrer que, pour tout entier naturel :
Soit : «
»
Montrons par récurrence que est vraie pour tout entier naturel
.
Initialisation au rang 0
D'un part :
D'autre part :
Donc et
est vraie.
Hérédité
Supposons qu'à un rang ,
soit vraie :
.
Montrons qu'alors est vraie.
Donc est vraie.
Ainsi est vraie pour
et est héréditaire donc
est vraie pour tout entier naturel
.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel , les points A,
et
sont alignés.
Pour prouver l'alignement des points considérés on compare pour tout entier naturel :
avec :
Du coup :
et pour tout entier naturel :
cela montre que et
sont colinéaires et donc que les points A,
et
sont alignés.