Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths de mai 2016 au Liban

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Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de s'entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle suivante arrive.

Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.

Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à près.

Partie A

Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles.

1. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à droite ?

Considérons le lancer d'une balle. Alors la loi de probabilité associée est :

On effectue 20 répétitions indépendantes de cette même expérience aléatoire. La variable aléatoire qui compte le nombre de balles que la machine envoie à droite suit la loi binomiale de paramètres et .

2. Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et 10 balles à droite ?

Avec les mêmes notations qu'à la question précédente :

Partie B

Le lance-balle est équipé d'un réservoir pouvant contenir 100 balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à droite.

Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l'appareil. Ses doutes sont-ils justifiés ?

Pour répondre à cette question on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 %.

On remarque déjà que les conditions usuelles d'utilisation sont vérifiées :

  • La taille de l'échantillon est ; donc ;

  • La proportion « théorique » de balles à droites est , du coup et donc et .

L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % est donné par la formule :

La fréquence observée dans l'échantillon est et .

Au vu de cet échantillon on ne peut pas dire que les doutes du joueur sont justifiés.

Partie C

Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit « liftées » soit « coupées ». La probabilité que le lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.

Les réglages de l'appareil permettent d'affirmer que :

Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité qu'elle soit envoyée à droite ?

Soient les événements :

  • D : « La balle est lancée à droite » ;

  • G : « La balle est lancée à gauche » ;

  • L : « La balle est liftée » ;

  • C : « La balle est coupée ».

On peut faire un arbre pour modéliser la situation :

Il s'agit de calculer .

Pour effectuer ce calcul nous avons besoin de . Pour l'obtenir nous complétons « les branches du haut » de l'arbre.

Donc .

Pour calculer on utilise la formule des probabilités totales.

Les événements D et G forment une partition de l'univers et on a :

Finalement .

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