Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths 2011 à Pondichéry
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Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.![](/image/im000683.png)
1. Le joueur lance une fléchette. On note
![](/image/im000684.png)
![](/image/im000685.png)
![](/image/im000686.png)
![](/image/im000687.png)
![](/image/im000688.png)
![](/image/im000689.png)
![](/image/im000690.png)
![](/image/im000686.png)
On doit résoudre le système :
![](/image/im000691.png)
2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette. On note
![](/image/im000692.png)
![](/image/im000693.png)
![](/image/im000694.png)
![](/image/im000695.png)
![](/image/im000392.png)
![](/image/im000696.png)
![](/image/im000697.png)
Dans l'arbre ci-dessous on n'a pas fait le 3
niveau qui est inutile pour répondre à la question.
En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre pour les branches qui aboutissent à un total de points
supérieur ou égal à 8 on obtient :
.
b. En déduire ![](/image/im000314.png)
![](/image/im000698.png)
![](/image/im000699.png)
![](/image/im000700.png)
Le joueur ne peut pas gagner avec un seul lancer, il peut gagner en 2 ou 3 lancers, donc la probabilité
que le joueur gagne la partie est p
.
Les événements
et
sont incompatibles (si le joueur gagne au deuxième lancer, la partie s'arrête) donc :
.
La probabilité de perdre (événement contraire) est :
.
3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
![](/image/im000701.png)
![](/image/im000702.png)
![](/image/im000703.png)
![](/image/im000704.png)
![](/image/im000705.png)
On considère l'expérience de Bernouilli dans laquelle la probabilité du succès est
(le joueur gagne la partie).
La loi associée à l'expérience est donnée dans le tableau ci-dessous :
On répète de façon indépendante 6 fois cette expérience, donc la variable aléatoire
qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 6 et
.
On cherche
que l'on peut calculer plus facilement en prenant l'événément contraire :
.
4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note ![](/image/im000706.png)
![](/image/im000707.png)
![](/image/im000708.png)
![](/image/im000706.png)
![](/image/im000709.png)
![](/image/im000710.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im000711.png)
![](/image/im000055.png)
On a directement en utilisant les probabilités calculées avant :
b. Déterminer l'espérance mathématique de ![](/image/im000712.png)
![](/image/im000055.png)
![](/image/im000713.png)