Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths 2011 à Pondichéry

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

 

 

1. Le joueur lance une fléchette.
On note la probabilité d'obtenir 0 point.
On note la probabilité d'obtenir 3 points.
On note la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc .
Sachant que et que déterminer les valeurs de et ·
On doit résoudre le système :

 

 

2. Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum. Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points. Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.
On note l'évènement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note l'évènement: « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note l'évènement: « le joueur perd la partie ».
On note la probabilité d'un évènement .
a. Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que .
On admettra dans la suite que
Dans l'arbre ci-dessous on n'a pas fait le 3 niveau qui est inutile pour répondre à la question.
En utilisant le principe multiplicatif sur l'arbre pour les branches qui aboutissent à un total de points supérieur ou égal à 8 on obtient :
.
b. En déduire .
Le joueur ne peut pas gagner avec un seul lancer, il peut gagner en 2 ou 3 lancers, donc la probabilité que le joueur gagne la partie est p.
Les événements et sont incompatibles (si le joueur gagne au deuxième lancer, la partie s'arrête) donc :
.
La probabilité de perdre (événement contraire) est :
.
3. Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2.
Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
On considère l'expérience de Bernouilli dans laquelle la probabilité du succès est (le joueur gagne la partie).
La loi associée à l'expérience est donnée dans le tableau ci-dessous :
On répète de façon indépendante 6 fois cette expérience, donc la variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 6 et .
On cherche que l'on peut calculer plus facilement en prenant l'événément contraire :
.
4. Pour une partie, la mise est fixée à 2 €.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 €. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 €. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour sont donc: , 1 et 3.
a. Donner la loi de probabilité de .
On a directement en utilisant les probabilités calculées avant :
b. Déterminer l'espérance mathématique de . Le jeu est-il favorable au joueur ?
Donc le jeu est défavorable pour le joueur.

 

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