Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 à Pondichéry

Partie I

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes et représentatives de deux fonctions et définies sur l'intervalle .
On sait que :
  • l'axe des ordonnées est asymptote aux courbes et .
  • l'axe des abscisses est asymptote à la courbe .
  • la fonction est continue et strictement décroissante sur l'intervalle .
  • la fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle .
  • la limite quand tend vers de est .

 

 

Pour chacune des quatre questions de cette partie, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse juste rapporte 0,5 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'est pas sanctionnée.
1. La limite quand tend vers 0 de est :
La bonne réponse est .
2. La limite quand tend vers de est :
La bonne réponse est 0.
3. En , admet une asymptote oblique :
On ne peut pas conclure.
4. Le tableau de signes de est :
Le bon tableau est le dernier proposé.

Partie II

On considère la fonction définie sur l'intervalle par
1. Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition.
Limite à droite en 0 :
  • (limite de référence)
  • (limite d'une constante)
  • (limite de référence) et par produit par on obtient :
Par addition :
Limite en :
  • (limite de référence)
  • (limite d'une constante)
  • (limite de référence) et par produit par on obtient :
Par addition :
2. Etudier les variations de la fonction sur l'intervalle .
Sur , la fonction est croissante, la fonction est croissante donc par addition la fonction est croissante. On a donc le tableau de variations :
3. En déduire le signe de lorsque décrit l'intervalle .
On remarque que , compte tenu des variations de on a le tableau de signes :
4. Montrer que la fonction définie sur l'intervalle par
est une primitive de la fonction sur cet intervalle.
On dérive la fonction :
avec :
Les fonctions et sont dérivables sur , donc est également dérivable sur cet intervalle et on a :
Donc , ce qui prouve que est une primitive de sur .
5. Démontrer que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle .
On étudie le signe de sur :
Comme est une primitive de , , d'après ce qui précède on a sur , donc est strictement croissante sur .
6. Montrer que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle qu'on note .
La fonction est continue sur et d'après le tableau de variations, l'image de cet intervalle par est l'intervalle , or donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet au moins une solution dans .
Comme de plus la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré, la solution est unique.
7. Donner un encadrement de d'amplitude .
En utilisant la technique de balayage avec la calculette on trouve .

Partie III

Soit et les fonctions définies sur l'intervalle par :
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormal, les courbes et représentatives des fonctions et .
1. A est le point d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
Pour trouver l'abscisse de A on résout :
Donc A.
2. P est le point d'intersection des courbes et . Justifier que les coordonnées du point P sont (1 ; 1).
Pour trouver l'abscisse du point P, on résout :
.
Compte tenu du signe de vu dans la question 3 de la partie II, cette équation a une unique solution sur qui est .
On vérifie que : et que , donc P est bien le point d'intersection de et .
3. On note l'aire du domaine délimité par les courbes , et les droites d'équations respectives et (domaine grisé sur le graphique).
a. Exprimer l'aire à l'aide de la fonction définie dans la partie II.
On remarque que , donc sur , est au dessus de (voir le signe de dans la partie II), et l'aire grisée s'obtient en calculant :
b. Montrer que .
Dans la partie II, on a vu qu'une primitive de sur est définie par , donc :
4. Soit un nombre réel de l'intervalle . On note l'aire du domaine délimité par les droites d'équations respectives et les courbes et (domaine hachuré sur le graphique).
On souhaite déterminer une valeur de telle que .
a. Montrer que .
Pour , sur , est au dessus de (toujours en remarquant que et avec le signe de la partie II), donc l'aire hachurée est donnée par :
b. Conclure.
Pour trouver tel que , on résout l'équation :
soit .
On a vu dans la partie II que cette équation a une unique solution , donc équivaut à .

 

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