Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 en Polynésie
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
1. Soient A le point d'affixe 
et B le point d'affixe 
.
Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.
OA
OB
AB
Le triangle est isocèle en A et 
donc il est également rectangle en A
d'après la propriété de Pythagore.
2. Soit OB AB
Le triangle est isocèle en A et donc il est également rectangle en A
d'après la propriété de Pythagore.
l'ensemble des points 
d'affixe 
telle que 
.
Proposition 2 : est une droite parallèle à l'axe des réels.
MA où A est le point d'affixe 
.
MB où B est le point d'affixe 
.
La condition s'écrit MA
MB donc les points M sont ceux de la médiatrice de [AB] qui est bien parallèle à l'axe des réels.
.
Proposition 3 : Pour tout entier naturel 
non nul, 
est imaginaire pur.
On calcule un argument de 
, on trouve : 
.
Donc 
En prenant, par exemple, 
on a :
et dans ce cas est un réel (et non un imaginaire pur).
4. Soit , on trouve : .
Donc
En prenant, par exemple, on a :
et dans ce cas est un réel (et non un imaginaire pur).
un nombre complexe non nul.
Proposition 4 : Si 
est un argument de alors 
.
Si est un argument de , alors 
avec 
, donc on a :
Donc l'égalité est bien vérifiée.
5. Soit est un argument de , alors avec , donc on a :
Donc l'égalité est bien vérifiée.
un nombre complexe non nul.
Proposition 5 : Si le module de est égal à 1 alors 
est un nombre réel.
En posant 
, on calcule 
et on obtient 0.
Donc a sa partie imaginaire nulle, c'est donc un nombre réel.
, on calcule et on obtient 0.
Donc a sa partie imaginaire nulle, c'est donc un nombre réel.
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