Bac de maths

Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 en Polynésie

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Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
1. Soient A le point d'affixe et B le point d'affixe .
Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.
OA OB AB
Le triangle est isocèle en A et donc il est également rectangle en A d'après la propriété de Pythagore.

 

 

2. Soit l'ensemble des points d'affixe telle que .
Proposition 2 : est une droite parallèle à l'axe des réels.
MA où A est le point d'affixe .
MB où B est le point d'affixe .
La condition s'écrit MAMB donc les points M sont ceux de la médiatrice de [AB] qui est bien parallèle à l'axe des réels.
3. Soit .
Proposition 3 : Pour tout entier naturel non nul, est imaginaire pur.
On calcule un argument de , on trouve : .
Donc
En prenant, par exemple, on a :
et dans ce cas est un réel (et non un imaginaire pur).

 

 

4. Soit un nombre complexe non nul.
Proposition 4 : Si est un argument de alors .
Si est un argument de , alors avec , donc on a :
Donc l'égalité est bien vérifiée.
5. Soit un nombre complexe non nul.
Proposition 5 : Si le module de est égal à 1 alors est un nombre réel.
En posant , on calcule et on obtient 0.
Donc a sa partie imaginaire nulle, c'est donc un nombre réel.

 

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