Bac de maths

Corrigé de l'exercice 4 du bac de maths S 2011 en Nouvelle-Calédonie

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L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère les points A, B et C.
1.a. Calculer le produit scalaire puis les longueurs AB et AC.
Coordonnées du vecteur :
Coordonnées du vecteur :

 

 

Produit scalaire de et :
Norme du vecteur :
Norme du vecteur :
Donc AB= et AC=.

 

 

b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle .
Le produit scalaire peut également s'écrire :
.
Donc
avec : et °.
c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
L'angle n'est ni nul, ni plat donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : .
Les points , et ne sont pas alignés, donc il définissent un plan. Pour montrer que ce plan admet pour équation il suffit de vérifier que les coordonnées des 3 points vérifient l'équation en question :
Point :
Point :
Point :
Donc une équation du plan considéré est bien .
3. Soient , et les plans d'équations respectives et .
Montrer que les plans et sont sécants selon une droite dont un système d'équations paramétriques est
On résout le système :
Donc les plans et sont sécants selon la droite , dont on a obtenu une représentation paramétrique ci-dessus.
4. Démontrer que la droite et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
On résout le système :
Donc la droite et le plan (ABC), se coupent au point de coordonnées .

 

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