Corrigé de l'exercice 4 du bac de maths S 2011 en Nouvelle-Calédonie
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L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct![](/image/im000105.png)
![](/image/im000106.png)
![](/image/im000107.png)
![](/image/im000108.png)
1.a. Calculer le produit scalaire
![](/image/im000109.png)
Coordonnées du vecteur
:
Coordonnées du vecteur
:
et
:
Norme du vecteur
:
Norme du vecteur
:
Donc AB=
et AC=
.
![](/image/im000110.png)
![](/image/im000111.png)
![](/image/im000112.png)
![](/image/im000113.png)
![](/image/im000114.png)
![](/image/im000115.png)
![](/image/im000116.png)
![](/image/im000117.png)
Produit scalaire de
![](/image/im000110.png)
![](/image/im000114.png)
![](/image/im000118.png)
![](/image/im000110.png)
![](/image/im000119.png)
![](/image/im000114.png)
![](/image/im000120.png)
![](/image/im000121.png)
![](/image/im000122.png)
b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle
![](/image/im000123.png)
Le produit scalaire peut également s'écrire :
.
Donc
avec :
et
°.
c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
![](/image/im000124.png)
![](/image/im000125.png)
![](/image/im000126.png)
![](/image/im000127.png)
L'angle
n'est ni nul, ni plat donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : ![](/image/im000123.png)
![](/image/im000128.png)
Les points
,
et
ne sont pas alignés, donc il définissent un plan.
Pour montrer que ce plan admet pour équation
il suffit de vérifier que les coordonnées des 3 points vérifient l'équation en question :
Point
:
Point
:
Point
:
Donc une équation du plan considéré est bien
.
3. Soient ![](/image/im000129.png)
![](/image/im000130.png)
![](/image/im000131.png)
![](/image/im000132.png)
![](/image/im000129.png)
![](/image/im000133.png)
![](/image/im000130.png)
![](/image/im000134.png)
![](/image/im000131.png)
![](/image/im000135.png)
![](/image/im000132.png)
![](/image/im000136.png)
![](/image/im000137.png)
![](/image/im000138.png)
![](/image/im000139.png)
![](/image/im000136.png)
![](/image/im000137.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im000141.png)
On résout le système :
Donc les plans
et
sont sécants selon la droite
, dont on a obtenu une
représentation paramétrique ci-dessus.
4. Démontrer que la droite ![](/image/im000142.png)
![](/image/im000143.png)
![](/image/im000144.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im000140.png)
On résout le système :
Donc la droite
et le plan (ABC), se coupent au point de coordonnées
.
![](/image/im000145.png)
![](/image/im000140.png)
![](/image/im000146.png)