Corrigé de l'exercice 4 du bac de maths S 2011 en Nouvelle-Calédonie
L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct
.
On considère les points A
, B
et C
.
1.a. Calculer le produit scalaire
puis les longueurs AB et AC.
Coordonnées du vecteur 
:
Coordonnées du vecteur 
:
et :
Norme du vecteur :
Norme du vecteur :
Donc AB=
et AC=
.
b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l'angle :
Coordonnées du vecteur :
Produit scalaire de
et :
Norme du vecteur :
Norme du vecteur :
Donc AB= et AC=.
.
Le produit scalaire peut également s'écrire :
.
Donc 
avec : 
et 
°.
c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
.
Donc
avec : et °.
L'angle n'est ni nul, ni plat donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : n'est ni nul, ni plat donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
.
Les points 
, 
et 
ne sont pas alignés, donc il définissent un plan.
Pour montrer que ce plan admet pour équation
il suffit de vérifier que les coordonnées des 3 points vérifient l'équation en question :
Point : 
Point : 
Point : 
Donc une équation du plan considéré est bien .
3. Soient , et ne sont pas alignés, donc il définissent un plan.
Pour montrer que ce plan admet pour équation
il suffit de vérifier que les coordonnées des 3 points vérifient l'équation en question :
Point :
Point :
Point :
Donc une équation du plan considéré est bien .
, et 
les plans d'équations respectives 
et
.
Montrer que les plans et sont sécants selon une droite 
dont un système d'équations
paramétriques est 
On résout le système :
Donc les plans 
et 
sont sécants selon la droite , dont on a obtenu une
représentation paramétrique ci-dessus.
4. Démontrer que la droite
Donc les plans et sont sécants selon la droite , dont on a obtenu une
représentation paramétrique ci-dessus.
et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d'intersection.
On résout le système :
Donc la droite et le plan (ABC), se coupent au point de coordonnées 
.
5. Soit
Donc la droite et le plan (ABC), se coupent au point de coordonnées .
la sphère de centre 
et de rayon 
.
a. Donner une équation cartésienne de la sphère .
Une équation de la sphère considérée est :
Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
b. Étudier l'intersection de la sphère et de la droite .
On résout le système :
L'expression 
est un trinôme du second degré.
On calcule son discriminant :
.
Le discriminant est négatif donc le trinôme n'a pas de racine.
Par conséquent la sphère et la droite ne se coupent pas.
c. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère
L'expression est un trinôme du second degré.
On calcule son discriminant :
.
Le discriminant est négatif donc le trinôme n'a pas de racine.
Par conséquent la sphère et la droite ne se coupent pas.
.
Distance du point 
au plan 
On utilise directement la formule de la distance :
La distance du centre de la sphère au plan est égale au rayon de la sphère, donc le plan est tangent à la sphère.
au plan
On utilise directement la formule de la distance :
La distance du centre de la sphère au plan est égale au rayon de la sphère, donc le plan est tangent à la sphère.
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