Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 en Nouvelle-Calédonie
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Partie A : Restitution organisée de connaissances
Dans le sujet original, cette partie était consacrée aux équations différentielles qui ne sont plus au programme
à partir de la session 2013.
Partie B
Cette partie a été modifiée pour être conforme au nouveau programme en vigueur pour la session 2013.
Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note ![](/image/im000001.png)
![](/image/im000002.png)
![](/image/im000002.png)
![](/image/im000001.png)
![](/image/im000003.png)
![](/image/im000004.png)
![](/image/im000005.png)
![](/image/im000004.png)
![](/image/im000006.png)
1.a. Déterminer le sens de variation de la fonction
![](/image/im000004.png)
![](/image/im000005.png)
La fonction
est définie et dérivable sur
.
La fonction
est de la forme
avec
, donc sa dérivée
est de la forme
, ce qui donne
La dérivée de la fonction constante 1 est nulle.
Finalement, on a :
, soit
.
Il est clair que la dérivée est strictement positive sur
, donc la fonction est strictement
croissante sur cet intervalle.
![](/image/im000007.png)
![](/image/im000008.png)
![](/image/im000009.png)
![](/image/im000010.png)
![](/image/im000011.png)
![](/image/im000012.png)
![](/image/im000013.png)
![](/image/im000014.png)
![](/image/im000015.png)
![](/image/im000008.png)
b. Déterminer la limite de la fonction
![](/image/im000004.png)
![](/image/im000016.png)
Limite de la fonction
en
:
2. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération ![](/image/im000004.png)
![](/image/im000017.png)
-
(limite de référence)
- Par composition :
- Par addition :
- Par produit :
![](/image/im000022.png)
![](/image/im000023.png)
![](/image/im000024.png)
![](/image/im000002.png)
On a déjà vu que
, on résout l'inéquation :
Avec :
secondes.
3. La distance ![](/image/im000025.png)
![](/image/im000026.png)
![](/image/im000027.png)
![](/image/im000028.png)
![](/image/im000029.png)
![](/image/im000030.png)
![](/image/im000031.png)
On commence par déterminer un primitive de la fonction
, définie et continue sur
par :
On écrit
.
La fonction
est de la forme
, donc une primitive est
c'est à dire :
Par conséquent une primitive de
est
.
Une primitive de la fonction constante
est la fonction
.
Finalement une primitive de
est la fonction définie par :
.
Avec la primitive trouvée on peut maintenant calculer l'intégrale :
![](/image/im000004.png)
![](/image/im000008.png)
![](/image/im000032.png)
![](/image/im000033.png)
![](/image/im000013.png)
![](/image/im000034.png)
![](/image/im000035.png)
![](/image/im000009.png)
![](/image/im000036.png)
![](/image/im000037.png)
![](/image/im000038.png)
![](/image/im000039.png)
![](/image/im000004.png)
![](/image/im000040.png)
![](/image/im000041.png)