Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 au Liban

Soit la fonction définie sur par
On note la courbe représentative de dans un repère orthonormal

Partie A

1. Etudier les variations de la fonction sur .
La fonction est dérivable sur et on a : .
Pour tout , et ne s'annule que pour , donc la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré.
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2. Déterminer la limite de en .
.
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3. Montrer que admet une asymptote oblique dont on précisera une équation.
Vu la forme de la fonction, on conjecture facilement que l'équation de l'asymptote oblique est .
Pour le vérifier, on calcule , avec .
Donc la droite d'équation est asymptote oblique à en .

Partie B

On considère la suite à termes positifs définie par :
1. Démontrer que, pour tout réel positif, .
On pourra étudier la fonction définie sur par .
Pour étudier les variations de , on calcule la dérivée de la fonction, on obtient : .
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Comme , on a directement le signe de et le tableau de variations :
On remarque que sur , la fonction adment pour minimum 0, donc pour tout , , soit .
2. En déduire que, pour tout entier naturel non nul, .
En utilisant l'inégalité prouvée dans la question 1, avec , on obtient :
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3. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, .
4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, .
Initialisation au rang 1
On a et , donc
Hérédité
On suppose que pour un certain entier , on a .
On applique la fonction , croissante sur à cette inégalité :
Or (question 3) et , on a donc :
En utilisant l'inégalité de la question 2. il vient :
Donc la propriété est héréditaire et comme elle est initialisée au rang 1, on peut dire qu'elle est vraie pour tout entier supérieur ou égal à 1.
5. En déduire la limite de la suite ·
D'après la question précédente : , or , donc par comparaison, .
Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier supérieur ou égal à .
6.a. Démontrer que, pour tout entier supérieur ou égal à 2, on a :
b. En déduire que, pour tout entier supérieur ou égal à 2, on a :
a. On remarque que sur , , en intégrant on obtient l'inégalité demandée.
b. Dans l'inégalité , on majore chaque fraction avec une intégrale en utilisant le a. et avec la relation de Chasles on obtient :
Après calcul de l'intégrale on trouve : .
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7. Pour tout entier supérieur ou égal à 2, on a montré que
Démontrer que la suite converge vers 1.
Pour , en divisant l'inégalité par et en utilisant le théorème des gendarmes, on montre qu'effectivement la suite converge vers 1.
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