Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 au Liban
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Soit![](/image/im000063.png)
![](/image/im000748.png)
![](/image/im001700.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001701.png)
Partie A
1. Etudier les variations de la fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im000748.png)
La fonction
est dérivable sur
et on a :
.
Pour tout
,
et
ne s'annule que pour
, donc
la fonction
est strictement croissante sur l'intervalle considéré.
2. Déterminer la limite de ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000008.png)
![](/image/im001702.png)
![](/image/im001703.png)
![](/image/im001704.png)
![](/image/im001705.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im001706.png)
Dans l'exercice original, la dernière question de cette partie portait sur la notion d'asymptote oblique qui n'est
plus au programme à partir de la session 2013 du baccalauréat.
Partie B
On considère la suite![](/image/im001707.png)
![](/image/im001708.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im001709.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000748.png)
![](/image/im001710.png)
Pour étudier les variations de
, on calcule la dérivée de la fonction, on obtient :
.
Comme
, on a directement le signe de
et le tableau de variations :
On remarque que sur
, la fonction
adment pour minimum 0, donc pour tout
,
, soit
.
![](/image/im000203.png)
![](/image/im001711.png)
![](/image/im001703.png)
![](/image/im001127.png)
![](/image/im001712.png)
![](/image/im000008.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im001703.png)
![](/image/im000830.png)
![](/image/im001713.png)
2. En déduire que, pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001714.png)
En utilisant l'inégalité prouvée dans la question 1, avec
, on obtient :
![](/image/im001716.png)
3. Démontrer que, pour tout entier naturel ![](/image/im001715.png)
![](/image/im001716.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001717.png)
![](/image/im001718.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001719.png)
Initialisation au rang 1
On a
et
, donc
Hérédité
On suppose que pour un entier
, on a
.
On applique la fonction
, croissante sur
à cette inégalité :
Or
(question 3) et
, on a donc :
En utilisant l'inégalité de la question 2. il vient :
Donc la propriété est héréditaire et comme elle est initialisée au rang 1, on peut dire qu'elle est vraie pour tout entier
supérieur ou égal à 1.
5. En déduire la limite de la suite ![](/image/im001720.png)
![](/image/im001578.png)
![](/image/im001721.png)
![](/image/im001722.png)
![](/image/im001723.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000008.png)
![](/image/im001724.png)
![](/image/im001725.png)
![](/image/im001726.png)
![](/image/im001727.png)
![](/image/im001728.png)
![](/image/im001707.png)
D'après la question précédente :
, or
, donc par comparaison,
.
Dans la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier ![](/image/im001729.png)
![](/image/im001730.png)
![](/image/im001731.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001732.png)
![](/image/im000326.png)
![](/image/im001733.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001734.png)
a. On remarque que sur
,
, en intégrant on obtient l'inégalité demandée.
b. Dans l'inégalité
, on majore chaque fraction avec une intégrale en utilisant le a. et avec la relation de Chasles on obtient :
![](/image/im001738.png)
Après calcul de l'intégrale on trouve :
.
7. Pour tout entier ![](/image/im001735.png)
![](/image/im001736.png)
![](/image/im001737.png)
![](/image/im001738.png)
![](/image/im001739.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001740.png)
![](/image/im001741.png)
Pour
, en divisant l'inégalité par
et en utilisant le théorème des gendarmes, on montre qu'effectivement la suite converge vers 1.
![](/image/im001742.png)
![](/image/im001743.png)