Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths 2011 au Liban

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Prérequis :
On suppose connu le résultat suivant :
Quels que soient les nombres complexes non nuls et :
à près.
Démontrer que, quels que soient les nombres complexes non nuls et , on a :
à près.

 

 

Il faut commencer par montrer que pour , :
Formule de l'argument de l'inverse
On peut alors montrer la relation : :
Formule de l'argument d'un quotient

Partie B

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct , on considère les points A et B d'affixes respectives :
1. Déterminer le module et un argument de .
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2.a. Écrire sous forme algébrique.
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b. Montrer que .
On écrit sous forme algébrique, ce qui donne :
, soit l'expression qu'on a trouvé dans la question 2.a.
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c. En déduire la forme exponentielle de .
Avec le module et l'argument de trouvé dans la question 1., on peut écrire sous forme exponentielle ce qui donne :
et comme , on obtient :
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3. On note B l'image du point B par la rotation de centre O et d'angle .
a. Déterminer l'affixe du point B.
On a directement :
b. En déduire que le point B est le symétrique du point B par rapport à l'axe .
Les affixes de B et B ont le même module et des arguments opposés donc ils sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
4. Soit un point du plan. On note l'image du point par la rotation et le symétrique du point par rapport à l'axe .
On désigne par (E) l'ensemble des points du plan tels que .
a. Montrer que les points O et B appartiennent à l'ensemble (E).
Le point O est invariant par la rotation ainsi que par la symétrie, donc quand on enchaîne les deux transformation, O reste en O.
Le point B est transformé en B par la rotation, et comme B est le symétrique de B (question 3.b.), si on effectue cette symétrie sur B, on retombe sur B.
b. Soit un point distinct du point O.
Son affixe est égale à où est un réel strictement positif et un nombre réel.
Montrer que l'affixe du point est égale à puis déterminer l'ensemble des valeurs du réel telles que appartienne à l'ensemble (E).
Par la rotation :
En enchaînant avec la symétrie par rapport à l'axe des abscisses (conjugué) on obtient :
Le point appartient à l'ensemble (E) équivaut à :
où est un entier relatif.
c. Déterminer l'ensemble (E).
La relation de la question b, caractérise l'ensemble des points de la droite (OB) privée de O, mais comme O appartient à (E), finalement l'ensemble (E) est la droite (OB) toute entière.

 

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