Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 au Liban
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Dans l'espace muni d'un repère orthonormal![](/image/im001539.png)
![](/image/im001540.png)
On calcule, par exemple, les coordonnées des vecteurs
et
.
On remarque que les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points A, B et C ne sont pas alignés.
![](/image/im000608.png)
![](/image/im001541.png)
![](/image/im001542.png)
![](/image/im001543.png)
b. Démontrer que le vecteur
![](/image/im001544.png)
On calcule :
Donc le vecteur
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), ce qui justifie que
est normal au plan.
2. Soit ![](/image/im001545.png)
![](/image/im001546.png)
![](/image/im000681.png)
![](/image/im000681.png)
![](/image/im001547.png)
![](/image/im001548.png)
![](/image/im001547.png)
On lit directement sur l'équation du plan un vecteur normal :
.
On calcule :
.
Donc des vecteurs normaux des plans sont orthogonaux ce qui prouve que (ABC) et
sont perpendiculaires.
![](/image/im001549.png)
![](/image/im001550.png)
![](/image/im001547.png)
3.a. On appelle G le point de coordonnées
![](/image/im001551.png)
Dans le sujet original l'élève devait déterminer les coordonnées de G comme barycentre de points pondérés. Cette notion
n'est plus au programme à partir de la session 2013.
b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan ![](/image/im001547.png)
On calcule les coordonnées du vecteur :
.
On remarque que
, donc
et
sont colinéaires
ce qui prouve que (CG) est orthogonale au plan
.
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).
![](/image/im001552.png)
![](/image/im001553.png)
![](/image/im001554.png)
![](/image/im001555.png)
![](/image/im001547.png)
Un vecteur directeur de (CG) est
où encore en divisant par 2 :
, de plus la droite
passe par C
, donc on une représentation paramétrique de cette droite est :
![](/image/im001558.png)
d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan ![](/image/im001552.png)
![](/image/im001556.png)
![](/image/im001557.png)
![](/image/im001558.png)
![](/image/im001547.png)
On doit résoudre le système :
Donc H
![](/image/im001559.png)
![](/image/im001560.png)
La fin de l'exercice portait sur des questions qui sont hors programme à partir de l'année scolaire 2012-2013.