Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers
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Soient![](/image/im000063.png)
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![](/image/im001097.png)
![](/image/im001098.png)
1. Etude des fonctions
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000388.png)
Limite de la fonction
en
.
Limite de la fonction
en
.
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000388.png)
-
(fonction de référence)
-
et par composition :
![](/image/im001102.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000388.png)
-
(fonction de référence)
-
![](/image/im001104.png)
b. Justifier le fait que les fonctions
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000096.png)
![](/image/im000017.png)
Limite de
en
On remarque qu'on a une forme indéterminée.
On écrit :
Cela a pour effet de faire apparaître la fonction de référence
.
On sait d'après le cours (croissance comparée des fonctions exponentielles
et des fonctions puissances) que :
.
Donc par produit avec e, on a
.
Limite de
en
On est exactement dans le même cas et on procède de la même façon :
,
avec
Donc par produit
.
c. Etudier le sens de variations de chacune des fonctions ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im001105.png)
![](/image/im001106.png)
![](/image/im001107.png)
![](/image/im001108.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000017.png)
![](/image/im001109.png)
![](/image/im001110.png)
![](/image/im001111.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000203.png)
Fonction
La fonction
est définie et dérivable sur
.
Pour trouver la fonction dérivée de
on utilise la formule de
la dérivée d'un produit :
avec :
, donc
, donc
Comme pour tout
,
, le signe de
est le même que celui de
.
On a directement le tableau de signes :
On en déduit le tableau de variations de
:
Fonction
Comme
, la fonction
est définie et dérivable sur
et on a :
avec :
, donc
, donc
Le signe de
est le même que celui de
.
Il s'agit d'une expression polynôme du second degré dont les racines
sont 0 et 2, on a donc directement le tableau de signes :
On en déduit le tableau de variations de
:
2. Calcul d'intégrales
Pour tout entier naturel ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001112.png)
![](/image/im000184.png)
![](/image/im000189.png)
![](/image/im001113.png)
![](/image/im001114.png)
![](/image/im001115.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im001117.png)
![](/image/im001118.png)
![](/image/im001119.png)
![](/image/im001120.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im001121.png)
![](/image/im001122.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000243.png)
![](/image/im001123.png)
![](/image/im001124.png)
![](/image/im001125.png)
![](/image/im001113.png)
![](/image/im001114.png)
![](/image/im001126.png)
![](/image/im001127.png)
![](/image/im001128.png)
![](/image/im001129.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im001130.png)
![](/image/im001131.png)
![](/image/im001132.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im001133.png)
![](/image/im001134.png)
![](/image/im001135.png)
La fonction
est définie et continue
sur
et admet pour primitive la fonction
.
On a donc :
b. On admet que :
![](/image/im001136.png)
![](/image/im001137.png)
![](/image/im001138.png)
![](/image/im001139.png)
![](/image/im001140.png)
Dans le sujet original les élèves devaient établir cette relation grâce à un intégration par parties. Cette méthode
d'intégration n'est plus au programme à partir de la session 2013.
c. En déduire la valeur exacte de ![](/image/im001141.png)
![](/image/im001142.png)
En utilisant la formule qu'on vient de montrer on a :
3. Calcul d'une aire plane
a. Etudier la position relative des courbes ![](/image/im001143.png)
![](/image/im001144.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im001097.png)
Pour étudier la position relative des courbes
et
on étudie le signe de
soit :
Pour tout
,
, donc le signe de
est le même que celui de
et on a directement
le tableau de signes :
On en déduit que :
b. On désigne par ![](/image/im001096.png)
![](/image/im001097.png)
![](/image/im001145.png)
![](/image/im001146.png)
![](/image/im001116.png)
![](/image/im001117.png)
![](/image/im001145.png)
![](/image/im001147.png)
![](/image/im001148.png)
-
est en dessous de
pour
+
.
-
est au dessus de
pour
.
-
et
se coupent en
et en
.
![](/image/im000219.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im001097.png)
![](/image/im000850.png)
![](/image/im000221.png)
![](/image/im000219.png)
![](/image/im001152.png)
Compte tenu des positions de
et
l'aire
s'exprime par :
4. Etude de l'égalité de deux aires
Soit ![](/image/im001096.png)
![](/image/im001097.png)
![](/image/im000219.png)
![](/image/im001153.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im001154.png)
![](/image/im001096.png)
![](/image/im001097.png)
![](/image/im000221.png)
![](/image/im001155.png)
![](/image/im001154.png)
![](/image/im001156.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im000219.png)
![](/image/im001154.png)
![](/image/im001157.png)
![](/image/im001158.png)
![](/image/im001159.png)
![](/image/im000329.png)
Le problème est équivalent à résoudre l'équation
, avec
.
Cette fonction est définie et dérivable sur
et on a
.
Pour étudier le signe de la dérivée on dérive une seconde fois :
.
On a alors :
avec
et donc
.
Du coup on a le tableau de variations de la fonction
:
Avec
et
.
On en déduit d'après le tableau de variations qu'il existe un
unique réel
de
tel que
.
Avec la calculette, par balayage, on trouve
.
De tout ça, on déduit le signe de
:
Au final on a le tableau de variations de
:
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur
pour la fonction continue
, strictement croissante, on prouve l'existence d'un
unique
tel que
.
Par balayage avec la calculette, on trouve
.
Donc il existe une unique valeur de
qui réponde au problème, c'est
.
![](/image/im001160.png)
![](/image/im001161.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im001163.png)
![](/image/im001164.png)
![](/image/im001165.png)
![](/image/im001166.png)
![](/image/im001167.png)
![](/image/im001168.png)
![](/image/im001169.png)
![](/image/im001170.png)
![](/image/im001171.png)
![](/image/im000198.png)
![](/image/im001162.png)
![](/image/im001172.png)
![](/image/im001173.png)
![](/image/im001168.png)
![](/image/im001174.png)
![](/image/im000636.png)
![](/image/im001175.png)
![](/image/im001176.png)
![](/image/im000636.png)
![](/image/im001177.png)
![](/image/im001178.png)
![](/image/im001179.png)
![](/image/im000329.png)
![](/image/im001180.png)