Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers

Soient et les fonctions définies sur l'ensemble des nombres réels par :
Les courbes représentatives des fonctions et dans un repère orthogonal sont respectivement notées et et sont données ci-dessous :

 

 

1. Etude des fonctions et
a. Déterminer les limites des fonctions et en .
Limite de la fonction en
  • (fonction de référence)
  • et par composition :
Donc par produit .
Limite de la fonction en
  • (fonction de référence)
Donc par produit .
b. Justifier le fait que les fonctions et ont pour limite en .
Limite de en
On remarque qu'on a une forme indéterminée.
On écrit :
Cela a pour effet de faire apparaître la fonction de référence .
On sait d'après le cours (croissance comparée des fonctions exponentielles et des fonctions puissances) que :
.
Donc par produit avec e, on a .
Limite de en
On est exactement dans le même cas et on procède de la même façon :
, avec
Donc par produit .
c. Etudier le sens de variations de chacune des fonctions et et dresser leurs tableaux de variations respectifs.
Fonction
La fonction est définie et dérivable sur .
Pour trouver la fonction dérivée de on utilise la formule de la dérivée d'un produit :
avec :
, donc
, donc
Comme pour tout , , le signe de est le même que celui de .
On a directement le tableau de signes :
On en déduit le tableau de variations de :
Fonction
Comme , la fonction est définie et dérivable sur et on a :
avec :
, donc
, donc
Le signe de est le même que celui de .
Il s'agit d'une expression polynôme du second degré dont les racines sont 0 et 2, on a donc directement le tableau de signes :
On en déduit le tableau de variations de :
2. Calcul d'intégrales
Pour tout entier naturel , on définit l'intégrale par :
a. Calculer la valeur exacte de .
La fonction est définie et continue sur et admet pour primitive la fonction .
On a donc :
b. A l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel :
On pose :
, donc
, donc
Les fonctions et qui interviennent sont définies et dérivables sur et à dérivées continues, donc d'après la formule d'intégration par parties :
c. En déduire la valeur exacte de , puis celle de .
En utilisant la formule qu'on vient de montrer on a :
3. Calcul d'une aire plane
a. Etudier la position relative des courbes et .
Pour étudier la position relative des courbes et on étudie le signe de soit :
Pour tout , , donc le signe de est le même que celui de et on a directement le tableau de signes :
On en déduit que :
  • est en dessous de pour  +.
  • est au dessus de pour .
  • et se coupent en et en .
b. On désigne par l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes et , d'autre part entre les droites d'équations respectives et .
En exprimant comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité :
Compte tenu des positions de et l'aire s'exprime par :
4. Etude de l'égalité de deux aires
Soit un réel strictement supérieur à 1.
On désigne par l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes et , d'autre part entre les droites d'équations respectives et .
On admet que s'exprime par :
L'objectif de cette question est de prouver qu'il existe une et une seule valeur de pour laquelle les aires et sont égales.
a. Démontrer que l'équation est équivalente à l'équation : .
b. Dans cette question, toute trace d'argumentation, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Conclure, quant à l'existence et l'unicité du réel , solution du problème posé.
Le problème est équivalent à résoudre l'équation , avec .
Cette fonction est définie et dérivable sur et on a .
Pour étudier le signe de la dérivée on dérive une seconde fois : .
On a alors :
avec et donc .
Du coup on a le tableau de variations de la fonction :
Avec et .
On en déduit d'après le tableau de variations qu'il existe un unique réel de tel que .
Avec la calculette, par balayage, on trouve .
De tout ça, on déduit le signe de :
Au final on a le tableau de variations de :
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur pour la fonction continue , strictement croissante, on prouve l'existence d'un unique tel que .
Par balayage avec la calculette, on trouve .
Donc il existe une unique valeur de qui réponde au problème, c'est .

 

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