Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers
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Soient
et 
les fonctions définies sur l'ensemble 
des nombres réels par :
et dans un repère orthogonal 
sont respectivement notées 
et 
et sont données ci-dessous :
1. Etude des fonctions
et
a. Déterminer les limites des fonctions et en 
.
Limite de la fonction en
.
Limite de la fonction en
.
en
-
(fonction de
référence)
-
et par
composition : 
.
Limite de la fonction en
-
(fonction
de référence)
-
.
b. Justifier le fait que les fonctions
et ont pour limite 
en 
.
Limite de en
On remarque qu'on a une forme indéterminée.
On écrit : 
Cela a pour effet de faire apparaître la fonction de référence 
.
On sait d'après le cours (croissance comparée des fonctions exponentielles
et des fonctions puissances) que :
.
Donc par produit avec e, on a 
.
Limite de en
On est exactement dans le même cas et on procède de la même façon :
,
avec 
Donc par produit 
.
c. Etudier le sens de variations de chacune des fonctions en
On remarque qu'on a une forme indéterminée.
On écrit :
Cela a pour effet de faire apparaître la fonction de référence .
On sait d'après le cours (croissance comparée des fonctions exponentielles
et des fonctions puissances) que :
.
Donc par produit avec e, on a .
Limite de en
On est exactement dans le même cas et on procède de la même façon :
,
avec
Donc par produit .
et et dresser leurs tableaux de variations respectifs.
Fonction
La fonction est définie et dérivable sur .
Pour trouver la fonction dérivée de on utilise la formule de
la dérivée d'un produit :
avec :
, donc 
, donc 
Comme pour tout 
, 
, le signe de
est le même que celui de 
.
On a directement le tableau de signes :
On en déduit le tableau de variations de :
Fonction
Comme , la fonction est définie et dérivable sur
et on a :
avec :
, donc 
, donc
Le signe de 
est le même que celui de 
.
Il s'agit d'une expression polynôme du second degré dont les racines
sont 0 et 2, on a donc directement le tableau de signes :
On en déduit le tableau de variations de :
2. Calcul d'intégrales
Pour tout entier naturel
La fonction est définie et dérivable sur .
Pour trouver la fonction dérivée de on utilise la formule de
la dérivée d'un produit :
avec :
, donc
, donc
Comme pour tout , , le signe de
est le même que celui de .
On a directement le tableau de signes :
:
Fonction
Comme , la fonction est définie et dérivable sur
et on a :
avec :
, donc
, donc
Le signe de est le même que celui de .
Il s'agit d'une expression polynôme du second degré dont les racines
sont 0 et 2, on a donc directement le tableau de signes :
:
, on définit l'intégrale 
par :
.
La fonction 
est définie et continue
sur 
et admet pour primitive la fonction 
.
On a donc : 
b. On admet que :
est définie et continue
sur et admet pour primitive la fonction .
On a donc :
Dans le sujet original les élèves devaient établir cette relation grâce à un intégration par parties. Cette méthode
d'intégration n'est plus au programme à partir de la session 2013.
c. En déduire la valeur exacte de 
, puis celle de 
.
En utilisant la formule qu'on vient de montrer on a :
3. Calcul d'une aire plane
a. Etudier la position relative des courbes
et .
Pour étudier la position relative des courbes
et on étudie le signe de 
soit :
Pour tout , , donc le signe de
est le même que celui de 
et on a directement
le tableau de signes :
On en déduit que :
b. On désigne par
et on étudie le signe de soit :
Pour tout , , donc le signe de
est le même que celui de et on a directement
le tableau de signes :
- est en dessous de pour
+
.
- est au dessus de pour
.
- et se coupent en
et en 
.
l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes et , d'autre part entre les droites d'équations respectives 
et 
.
En exprimant comme différence de deux aires que l'on précisera, démontrer l'égalité :
Compte tenu des positions de et
l'aire s'exprime par :
4. Etude de l'égalité de deux aires
Soit et
l'aire s'exprime par :
un réel strictement supérieur à 1.
On désigne par 
l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan comprise d'une part entre les courbes et , d'autre part entre les droites d'équations respectives et 
.
On admet que s'exprime par :
pour laquelle les aires et sont égales.
a. Démontrer que l'équation 
est équivalente à l'équation :
.
, solution du problème posé.
Le problème est équivalent à résoudre l'équation 
, avec 
.
Cette fonction est définie et dérivable sur 
et on a 
.
Pour étudier le signe de la dérivée on dérive une seconde fois : 
.
On a alors : 
avec 
et donc 
.
Du coup on a le tableau de variations de la fonction 
:
Avec 
et 
.
On en déduit d'après le tableau de variations qu'il existe un
unique réel 
de tel que 
.
Avec la calculette, par balayage, on trouve 
.
De tout ça, on déduit le signe de :
Au final on a le tableau de variations de 
:
En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur 
pour la fonction continue , strictement croissante, on prouve l'existence d'un
unique 
tel que 
.
Par balayage avec la calculette, on trouve 
.
Donc il existe une unique valeur de qui réponde au problème, c'est 
.
, avec .
Cette fonction est définie et dérivable sur et on a .
Pour étudier le signe de la dérivée on dérive une seconde fois : .
On a alors :
avec et donc .
Du coup on a le tableau de variations de la fonction :
et .
On en déduit d'après le tableau de variations qu'il existe un
unique réel de tel que .
Avec la calculette, par balayage, on trouve .
De tout ça, on déduit le signe de :
:
pour la fonction continue , strictement croissante, on prouve l'existence d'un
unique tel que .
Par balayage avec la calculette, on trouve .
Donc il existe une unique valeur de qui réponde au problème, c'est .
