Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers
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La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH d'arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit
un point quelconque du segment [CE].
Dans tout l'exercice, on se place dans le repère orthonormal 
.
.
b. Justifier l'existence d'un réel
appartenant à l'intervalle 
, tel que les coordonnées du point M soient 
.
On a 
.
Les points M sont tels que 
avec 
.
On a donc : 
.
Les points M sont tels que avec .
On a donc :
2.a. Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ].
Compte tenu de la position de I et J, on a 
, donc C est dans le plan médiateur de [IJ].
Pour E en calculant les distances on a : 
, donc E est également dans le
plan médiateur de [IJ].
b. En déduire que le triangle MIJ est un triangle isocèle en M.
, donc C est dans le plan médiateur de [IJ].
Pour E en calculant les distances on a : , donc E est également dans le
plan médiateur de [IJ].
D'après la question précédente la droite (EC) est dans le plan médiateur de [IJ], donc tout point de cette droite aussi,
et en particulier M est équidistant de I et J, soit 
, donc MIJ est isocèle en M.
c. Exprimer , donc MIJ est isocèle en M.
en fonction de .
En utilisant la formule de la distance on a : 
.
3. Le but de cette question est de déterminer la position du point M sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l'angle .
est maximale.
On désigne par 
la mesure en radian de l'angle .
a. En admettant que la mesure appartient à l'intervalle 
, démontrer que la mesure est maximale lorsque 
est maximal.
Si 
, alors 
.
On a les équivalences : maximal 
maximal 
maximal (car sur 
, la fonction sinus est croissante).
b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est minimale.
, alors .
On a les équivalences : maximal maximal maximal (car sur , la fonction sinus est croissante).
Soit K le milieu de [IJ], on travaille dans MIK rectangle en K.
Dans ce triangle : 
.
Dans cette expression IK est fixe, et IM est au dénominateur, donc
lorsqu'il est est minimal, 
est maximal.
c. Etudier les variations de la fonction .
Dans cette expression IK est fixe, et IM est au dénominateur, donc
lorsqu'il est est minimal, est maximal.
définie sur l'intervalle par :
C'est une fonction trinôme du second degré on a directement son tableau de variations :
d. En déduire qu'il existe une unique position
du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de l'angle soit maximale.
On remarque que 
, donc d'après ce qui précède, le point 
est obtenu pour 
, soit 
.
e. Démontrer que le point , donc d'après ce qui précède, le point est obtenu pour , soit .
est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC].
Le point réalise la plus petite distance entre (EC) et I, donc est le projeté orthogonal
de I sur (EC).
réalise la plus petite distance entre (EC) et I, donc est le projeté orthogonal
de I sur (EC).
