Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers
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La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH d'arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit![](/image/im000344.png)
![](/image/im000979.png)
![](/image/im000980.png)
![](/image/im000981.png)
b. Justifier l'existence d'un réel
![](/image/im000002.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im000982.png)
On a
.
Les points M sont tels que
avec
.
On a donc :
![](/image/im000983.png)
![](/image/im000984.png)
![](/image/im000985.png)
![](/image/im000986.png)
2.a. Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ].
Compte tenu de la position de I et J, on a
, donc C est dans le plan médiateur de [IJ].
Pour E en calculant les distances on a :
, donc E est également dans le
plan médiateur de [IJ].
b. En déduire que le triangle MIJ est un triangle isocèle en M.
![](/image/im000987.png)
![](/image/im000988.png)
D'après la question précédente la droite (EC) est dans le plan médiateur de [IJ], donc tout point de cette droite aussi,
et en particulier M est équidistant de I et J, soit
, donc MIJ est isocèle en M.
c. Exprimer ![](/image/im000989.png)
![](/image/im000990.png)
![](/image/im000002.png)
En utilisant la formule de la distance on a :
.
3. Le but de cette question est de déterminer la position du point M sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l'angle ![](/image/im000991.png)
![](/image/im000992.png)
![](/image/im000510.png)
![](/image/im000992.png)
![](/image/im000510.png)
![](/image/im000993.png)
![](/image/im000510.png)
![](/image/im000994.png)
Si
, alors
.
On a les équivalences :
maximal
maximal
maximal (car sur
, la fonction sinus est croissante).
b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est minimale.
![](/image/im000995.png)
![](/image/im000996.png)
![](/image/im000510.png)
![](/image/im000997.png)
![](/image/im000998.png)
![](/image/im000999.png)
Soit K le milieu de [IJ], on travaille dans MIK rectangle en K.
Dans ce triangle :
.
Dans cette expression IK est fixe, et IM est au dénominateur, donc
lorsqu'il est est minimal,
est maximal.
c. Etudier les variations de la fonction ![](/image/im001000.png)
![](/image/im001001.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im001002.png)
C'est une fonction trinôme du second degré on a directement son tableau de variations :
d. En déduire qu'il existe une unique position ![](/image/im001003.png)
![](/image/im001004.png)
![](/image/im000992.png)
On remarque que
, donc d'après ce qui précède, le point
est obtenu pour
, soit
.
e. Démontrer que le point ![](/image/im001005.png)
![](/image/im001006.png)
![](/image/im001007.png)
![](/image/im001008.png)
![](/image/im001004.png)
Le point
réalise la plus petite distance entre (EC) et I, donc
est le projeté orthogonal
de I sur (EC).
![](/image/im001006.png)
![](/image/im001006.png)