Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths 2011 dans les centres étrangers
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On considère une droite![](/image/im000140.png)
![](/image/im000917.png)
![](/image/im000918.png)
![](/image/im000140.png)
-
est le point O ;
-
est le point d'abscisse
;
- pour tout entier naturel
, le point
est le milieu du segment
.
![](/image/im000140.png)
![](/image/im000923.png)
![](/image/im000924.png)
![](/image/im000925.png)
b. Pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000926.png)
![](/image/im000927.png)
![](/image/im000928.png)
![](/image/im000929.png)
![](/image/im000930.png)
![](/image/im000931.png)
![](/image/im000932.png)
![](/image/im000933.png)
![](/image/im000934.png)
c. Pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000935.png)
Cette formule est immédiate : c'est la formule de l'abscisse du milieu de deux points.
2. Démontrer par récurrence, que pour tout entier ![](/image/im000936.png)
La propriété à montrer pour tout entier
est :
«
».
Initialisation
,
, et
, soit
.
Donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang
, on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang
.
D'après la définition de la suite :
On remplace
en utilisant l'hypothèse de récurrence :
.
.
Donc
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang
et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier
.
3. Soit ![](/image/im000086.png)
![](/image/im000087.png)
![](/image/im000937.png)
![](/image/im000938.png)
![](/image/im000939.png)
![](/image/im000940.png)
![](/image/im003563.png)
![](/image/im000090.png)
![](/image/im000091.png)
![](/image/im000942.png)
![](/image/im000093.png)
![](/image/im000943.png)
![](/image/im000944.png)
![](/image/im000945.png)
![](/image/im000946.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000096.png)
![](/image/im000086.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im000948.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im000949.png)
Pour tout entier naturel
, on a :
Donc la suite
est une suite géométrique de raison
.
4. Déterminer la limite de la suite ![](/image/im000061.png)
![](/image/im000950.png)
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000951.png)
![](/image/im000947.png)
![](/image/im000952.png)
La raison de la suite géométrique
est comprise entre
et
, donc cette suite converge vers 0.
En utilisant les règles de calcul sur les limites on a :
.
![](/image/im000296.png)
![](/image/im000166.png)
![](/image/im000038.png)
![](/image/im000953.png)