Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 en Amérique du Nord

Partie A

On considère la fonction définie sur par
1. Etudier les variations de la fonction .
, on facilement le tableau de variations sur :

 

 

2. Déterminer le signe de suivant les valeurs de .
D'après le tableau de variations, on a et pour , .
3. En déduire que pour tout de .
De pour , on déduit soit et donc .

Partie B

On considère la fonction définie sur par
La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci-dessous :
On admet que est strictement croissante sur [0 ; 1].
1. Montrer que pour tout de [0 ; 1], .
Comme est strictement croissante sur , on a le tableau de variations :
Donc pour , on a bien .
2. Soit (D) la droite d'équation .
a. Montrer que pour tout de [0 ; 1], .
b. Etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe sur .
On sait que , sur , le signe de est donc le même que celui de .
Sur cet intervalle et , donc , donc aussi et donc est en dessous de . On peut remarquer que et se coupent pour et pour .
3.a. Déterminer une primitive de sur .
On a une fonction de la forme avec sur .
Donc une primitive est .
b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite (D) et les droites d'équations et .
Compte tenu des positions de et l'aire considérée est :
u.a.

Partie C

On considère la suite définie par :
1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
2. Montrer que pour tout entier naturel .
La propriété à montrer pour tout entier est : « ».
Initialisation
et , ainsi
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un certain rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
est croissante sur , on l'applique à l'hypothèse de récurrence :
avec , donc et .
Il vient donc :
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout entier .
3. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.
La suite est croissante et majorée par 1, donc elle admet une limite.
La fonction étant continue sur , la limite de la suite est solution de l'équation .
Cette équation a deux solutions 0 et 1, la limite ne peut pas être 0, car la suite est croissante et son premier terme est .
On conclut que .

 

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