Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 en Amérique du Nord
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Partie A
On considère la fonction
définie sur 
par
.
, on facilement le tableau de variations sur 
:
2. Déterminer le signe de
suivant les valeurs de 
.
D'après le tableau de variations, on a 
et pour 
, 
.
3. En déduire que pour tout et pour , .
de 
.
De 
pour 
, on déduit 
soit 
et donc 
.
pour , on déduit soit et donc .
Partie B
On considère la fonction
définie sur 
par
représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée ci-dessous :
est strictement croissante sur [0 ; 1].
1. Montrer que pour tout
de [0 ; 1], 
.
Comme est strictement croissante sur , on a le tableau de variations :
Donc pour 
, on a bien 
.
2. Soit (D) la droite d'équation est strictement croissante sur , on a le tableau de variations :
, on a bien .
.
a. Montrer que pour tout de [0 ; 1], 
.
sur .
On sait que , sur , le signe de 
est donc le même que celui
de 
.
Sur cet intervalle 
et , donc 
, donc aussi et donc est au dessus de 
. On peut remarquer que et se coupent pour 
et pour 
.
3.a. Déterminer une primitive de , sur , le signe de est donc le même que celui
de .
Sur cet intervalle et , donc , donc aussi et donc est au dessus de . On peut remarquer que et se coupent pour et pour .
sur .
On a une fonction de la forme 
avec 
sur .
Donc une primitive est 
.
b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe avec sur .
Donc une primitive est .
, la droite (D) et les droites d'équations 
et 
.
Compte tenu des positions de et l'aire considérée est :
u.a.
et l'aire considérée est :
u.a.
Partie C
On considère la suite
définie par :
.
La propriété à montrer pour tout entier 
est :
«
».
Initialisation
et 
, ainsi 
Donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang 
, on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang 
.
est croissante sur , on l'applique à l'hypothèse de récurrence :
avec 
, donc 
et 
.
Il vient donc : 
Donc 
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 
et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
3. En déduire que la suite est :
«
».
Initialisation
et , ainsi
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
est croissante sur , on l'applique à l'hypothèse de récurrence :
avec , donc et .
Il vient donc :
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
est convergente et déterminer sa limite.
La suite 
est croissante et majorée par 1, donc elle admet une limite.
La fonction étant continue sur , la limite de la suite est solution de l'équation
.
Cette équation a deux solutions 0 et 1, la limite ne peut pas être 0, car la suite est croissante et son premier terme est
.
On conclut que 
.
est croissante et majorée par 1, donc elle admet une limite.
La fonction étant continue sur , la limite de la suite est solution de l'équation
.
Cette équation a deux solutions 0 et 1, la limite ne peut pas être 0, car la suite est croissante et son premier terme est
.
On conclut que .
