Corrigé de l'exercice 4 du bac S de maths 2011 en Amérique du Nord
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Partie A
On considère la fonction![](/image/im000203.png)
![](/image/im000005.png)
![](/image/im000822.png)
![](/image/im000203.png)
![](/image/im000823.png)
![](/image/im000748.png)
![](/image/im000824.png)
2. Déterminer le signe de
![](/image/im000825.png)
![](/image/im000153.png)
D'après le tableau de variations, on a
et pour
,
.
3. En déduire que pour tout ![](/image/im000826.png)
![](/image/im000827.png)
![](/image/im000828.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000829.png)
De
pour
, on déduit
soit
et donc
.
![](/image/im000830.png)
![](/image/im000831.png)
![](/image/im000832.png)
![](/image/im000833.png)
![](/image/im000834.png)
Partie B
On considère la fonction![](/image/im000063.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im000835.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000837.png)
![](/image/im000063.png)
1. Montrer que pour tout
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000070.png)
Comme
est strictement croissante sur
, on a le tableau de variations :
Donc pour
, on a bien
.
2. Soit (D) la droite d'équation ![](/image/im000063.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im000838.png)
![](/image/im000083.png)
![](/image/im000084.png)
![](/image/im000839.png)
![](/image/im000153.png)
![](/image/im000840.png)
![](/image/im000841.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000068.png)
On sait que
, sur
, le signe de
est donc le même que celui
de
.
Sur cet intervalle
et
, donc
, donc
aussi et donc
est au dessus de
. On peut remarquer que
et
se coupent pour
et pour
.
3.a. Déterminer une primitive de ![](/image/im000834.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im000842.png)
![](/image/im000843.png)
![](/image/im005390.png)
![](/image/im000830.png)
![](/image/im005391.png)
![](/image/im000842.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000846.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000846.png)
![](/image/im000847.png)
![](/image/im000213.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000068.png)
On a une fonction de la forme
avec
sur
.
Donc une primitive est
.
b. Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe ![](/image/im000076.png)
![](/image/im000848.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im000849.png)
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000850.png)
![](/image/im000221.png)
Compte tenu des positions de
et
l'aire considérée est :
u.a.
![](/image/im000836.png)
![](/image/im000846.png)
![](/image/im000851.png)
Partie C
On considère la suite![](/image/im000060.png)
![](/image/im000852.png)
![](/image/im000853.png)
La propriété à montrer pour tout entier
est :
«
».
Initialisation
et
, ainsi
Donc
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un rang
, on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang
.
est croissante sur
, on l'applique à l'hypothèse de récurrence :
avec
, donc
et
.
Il vient donc :
Donc
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang
et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier
.
3. En déduire que la suite ![](/image/im000086.png)
![](/image/im000087.png)
![](/image/im000854.png)
![](/image/im000855.png)
![](/image/im000856.png)
![](/image/im000857.png)
![](/image/im000090.png)
![](/image/im000091.png)
![](/image/im000858.png)
![](/image/im000093.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im000859.png)
![](/image/im000860.png)
![](/image/im000861.png)
![](/image/im000862.png)
![](/image/im000863.png)
![](/image/im000095.png)
![](/image/im000096.png)
![](/image/im000086.png)
![](/image/im000060.png)
La suite
est croissante et majorée par 1, donc elle admet une limite.
La fonction
étant continue sur
, la limite de la suite est solution de l'équation
.
Cette équation a deux solutions 0 et 1, la limite ne peut pas être 0, car la suite est croissante et son premier terme est
.
On conclut que
.
![](/image/im000102.png)
![](/image/im000063.png)
![](/image/im000068.png)
![](/image/im000103.png)
Cette équation a deux solutions 0 et 1, la limite ne peut pas être 0, car la suite est croissante et son premier terme est
![](/image/im000334.png)
![](/image/im000864.png)