Corrigé de l'exercice 2 du bac S de maths 2011 en Amérique du Nord
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Partie A
Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis. On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle. Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?
Le choix au hasard des deux ordinateurs équivaut au tirage successif sans remise de deux ordinateurs.
Soit A l'événement : « le premier ordinateur tiré est défectueux »
et B l'événement : « le deuxième ordinateur tiré est défectueux ».
On peut alors représenter la situation par l'arbre de probabilités :
L'événement considéré correspond à
et
en utilisant la formule des probabilités composées (principe multiplicatif sur l'arbre) on a :
.
![](/image/im000789.png)
![](/image/im000790.png)
![](/image/im000791.png)
Partie B
La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire![](/image/im000055.png)
![](/image/im000792.png)
![](/image/im000793.png)
![](/image/im000002.png)
![](/image/im000002.png)
![](/image/im000794.png)
![](/image/im000795.png)
![](/image/im000792.png)
![](/image/im000796.png)
![](/image/im000797.png)
![](/image/im000798.png)
2. Dans cette question, on prendra
![](/image/im000799.png)
![](/image/im000800.png)
![](/image/im000801.png)
![](/image/im000796.png)
En utilisant l'événement contraire : « tous les ordinateurs ont une durée de vie inférieure à 5 ans » on a directement la probabilité demandée en utilisant une loi binomiale à savoir :
.
b. Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement « l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à ![](/image/im000802.png)
![](/image/im000803.png)
On doit résoudre :
avec
, donc il faut prendre au minimum 14 ordinateurs.
![](/image/im000804.png)
![](/image/im000805.png)