Montrer qu'une suite est convergente et calculer sa limite

Soit la suite numérique définie par : On admet que cette suite est croissante et majorée par 4. Montrer que est convergente et déterminer sa limite.

Pour justifier la convergence de la suite il faut penser au théorème de convergence des suites monotones. Pour calculer la limite de la suite il faut savoir que la limite est solution de l'équation , où est la fonction qui défini la suite par la relation .

La suite est croissante et majorée par 4, donc elle est convergente (théorème des suites croissantes majorées). Soit , alors on a et la fonction est continue sur son ensemble de définition, donc la limite de la suite est solution de l'équation . Pour , Comme , la seule possibilité est et la limite de la suite est 4.