Etablir une inégalité avec une fonction logarithme
Exemple de question
Pour tout réel 
on pose :
désigne le logarithme népérien de 
.
De l'étude de 
, déduire que pour tout , on a l'inégalité :
on pose :
désigne le logarithme népérien de .
De l'étude de , déduire que pour tout , on a l'inégalité :
Méthode
Pour comparer deux quantités on peut étudier le signe de la différence et c'est exactement ce qui est proposé ici :
pour comparer et 
, on étudie le signe de 
.
Pour trouver le signe de 
, on dresse son tableau de variation, pour cela on dérive et on étudie le signe de la dérivée.
et , on étudie le signe de .
Pour trouver le signe de , on dresse son tableau de variation, pour cela on dérive et on étudie le signe de la dérivée.
Solution
La fonction est définie et dérivable sur 
et on a 
.
Pour étudier le signe de 
, on «arrange» l'expression de la dérivée :
Comme , le signe de la dérivée est le même que celui de , et on a directement le tableau de variations de :
On remarque que sur , la fonction admet 0 pour minimum, donc pour tout , 
on a alors :
ce qui donne bien l'inégalité demandée.
est définie et dérivable sur et on a .
Pour étudier le signe de , on «arrange» l'expression de la dérivée :
Comme , le signe de la dérivée est le même que celui de , et on a directement le tableau de variations de :
On remarque que sur , la fonction admet 0 pour minimum, donc pour tout , on a alors :
ce qui donne bien l'inégalité demandée.