Calculer une intégrale d'une fraction rationnelle avec décomposition
Exemple de question
1. Déterminer les réels 
, 
et 
tels que, pour tout réel 
différent de 
:
, et tels que, pour tout réel différent de :
Méthode
La fonction rationnelle à intégrer n'est pas de la forme 
, ni 
, on ne peut pas l'intégrer directement.
La première question permet de décomposer la fraction en une fonction affine qu'on sait intégrer et une fonction rationnelle qu'on peut mettre sous la forme , cette
dernière ayant une primitive de la forme 
.
, ni , on ne peut pas l'intégrer directement.
La première question permet de décomposer la fraction en une fonction affine qu'on sait intégrer et une fonction rationnelle qu'on peut mettre sous la forme , cette
dernière ayant une primitive de la forme .
Solution
1. 
Par identification on obtient :
On a donc : 
.
2. Une primitive de 
est la fonction 
.
On écrit : 
.
Sur 
, la fonction 
, donc une primitive sur cet intervalle de la fonction 
est 
.
(Notez que comme la fonction est négative une primitive de est 
).
Finalement on a :
Par identification on obtient :
On a donc : .
2. Une primitive de est la fonction .
On écrit : .
Sur , la fonction , donc une primitive sur cet intervalle de la fonction est .
(Notez que comme la fonction est négative une primitive de est ).
Finalement on a :
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