Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires

Soit une fonction définie et continue sur un intervalle .
Alors pour tout réel compris entre et , il existe au moins un réel tel que .
Si de plus est strictement monotone sur , alors le réel est unique, c'est à dire que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .

 

 

Remarques

1. Le tableau de variations d'une fonction permet de «voir» facilement comment appliquer ce théorème.
2. On admet sans plus de précision que l'on peut étendre ce théorème à des intervalles non bornés.

Exemples

1. On considère l'équation : .
Montrer que cette équation admet au moins une solution dans l'intervalle .
On a pour tout de l'intervalle considéré : .
On pose .
Cette fonction est continue sur et on a :
.
.
Or , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un tel que , ce qui revient à dire que l'équation du départ possède au moins une solution dans l'intervalle considéré.
2. On considère une fonction continue sur dont on donne le tableau de variation :
Prouver que l'équation admet une unique solution dans .
La fonction est continue et strictement décroissante sur et on a :
Or , donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation admet une unique solution dans .

 

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