Théorème des gendarmes pour les fonctions

Pour comparer et , on étudie le signe de la différence : . Pour , , donc le signe du quotient est le même que celui de . Pour tout réel , on a : . Donc pour tout , , soit . En procédant exactement de la même façon, on montre que . On a donc l'encadrement : . On détermine maintenant, les limites en des deux fonctions qui encadrent . En utilisant la propriété des termes de plus haut degré, on a directement : et . Donc les deux fonctions qui encadrent ont la même limite, d'après le théorème des gendarmes on peut dire que .