Suites adjacentes

Définition des suites adjacentes

On dit que deux suites réelles et sont adjacentes lorsque :
L'une des suites est croissante et l'autre décroissante et

Théorème des suites adjacentes

Soit et deux suites réelles adjacentes avec croissante et décroissante.
  • Pour tout ,
  • Les suites et convergent et ont la même limite .
  • Pour tout entier naturel et :

 

 

Exemple

Soient les suites et définies pour tout entier naturel , par :
Montrer que ces suites sont adjacentes.
La fonction définie sur par est croissante (on le voit, par exemple, avec la dérivée qui est positive).
De même la fonction définie sur par est décroissante (dérivée : négative).
Par conséquent, la suite est croissante et la suite est décroissante.
Pour vérifier que ces suites sont adjacentes il reste à évaluer :
Pour la limite en l'infini de cette expression on a une forme indéterminée, on lève l'indétermination avec la règle des termes de plus haut degré :
.
En résumé, est croissante, est décroissante, , donc et sont des suites adjacentes.

 

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