Suite géométrique

Définition d'une suite géométrique

Une suite géométrique est une suite pour laquelle on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre appelé raison et noté , on a donc la définition par récurrence :

 

 

Exemple

Jean loue un appartement 10 euros.
Chaque mois le montant du loyer double.
Déterminer une suite qui donne le montant du loyer le n mois.
Le terme de rang 1 correspond au loyer du premier mois soit : .
On a la relation , la suite considérée est donc la suite géométrique de premier terme et de raison 2.

Relations de base

On considère une suite géométrique définie sur et de raison .
  • pour tout : (définition sous forme explicite de la suite)
  • pour tout

Exemples

1. Quel est le montant du loyer de l'appartement de Jean le 12 mois ?
Pour l'appartement de Jean le loyer du 12 mois est :
euros !
2. Soit une suite géométrique de raison positive.
On sait que est le double de et que .
Calculer la raison et le premier terme de la suite.
, donc . et comme , on en déduit que .
, donc , donc

Caractérisation des suites géométriques

On considère une suite définie sur .
  • Pour tout on a , si et seulement si est une suite géométrique de raison .
  • est définie explicitement par une relation de la forme , si et seulement si est une suite géométrique de premier terme et de raison .

Exemple

Soit une suite définie par et, pour tout entier naturel n :
On considère la suite définie par .
Montrer que est une suite géométrique.
Donc est une suite géométrique de raison .

Somme de termes consécutifs

Dans certains problèmes on a besoin de calculer la somme de plusieurs termes consécutifs d'une suite géométrique. La formule suivante permet de calculer facilement une telle somme :
La raison est supposée différente de 1.

Exemple

Sur un échiquier, on pose un grain de riz sur la première case, puis 2 sur la deuxième, puis 4 sur la troisième, et on continue en doublant ainsi jusqu'à la 64 case.
Combien y-a-t-il au total de grains sur l'échiquier ?
Le nombre de grains sur la n case est donné par le terme de la suite géométrique de premier terme et de raison 2.
Le nombre total de grains est la somme de 64 termes consécutifs de cette suite, ce qui donne en appliquant la formule :

 

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