Sens de variation d'une suite

Sens de variation

Soit une suite réelle.
  • On dit que la suite est croissante
    lorsque pour tout entier ,
  • On dit que la suite est décroissante
    lorsque pour tout entier ,
  • On dit que la suite est constante
    lorsque pour tout entier ,

 

 

Remarques

1. Une suite qui est croissante ou décroissante est dite monotone.
2. En remplaçant dans la définition précédente par on obtient une suite strictement croissante, on a de même la stricte décroissance. Dans un de ces deux cas la suite est dite strictement monotone.

Exemples

1. Soit la suite définie pour tout entier naturel par :
En étudiant le signe de , déterminer le sens de variation de cette suite.
Le dénominateur de la fraction est srictement positif, donc pour tout entier naturel on a soit , ce qui montre que la suite est strictement décroissante.
2. Soit la suite définie pour tout entier naturel par :
En remarquant que la fonction est strictement croissante sur , montrer par récurrence que la suite est strictement croissante.
La propriété à montrer pour tout entier est : « ».
Initialisation
On a et , ainsi .
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un certain rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
La fonction est strictement croissante sur et tous les termes de la suite sont dans (ils sont même strictements positifs), on peut donc appliquer la fonction à l'inégalité de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens de l'inégalité ce qui donne :
soit
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété est vraie pour tout entier .

 

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