Module d'un nombre complexe

Définition du module

Soit un nombre complexe.
Le module de , noté est

 

 

Manipulation des modules

On considère et deux nombres complexes.
Cas particulier de 0 :
Conjugué :
Opposé :
Produit et quotient :
  • Pour ,
  • et ,
Addition et soustraction :
Il n'y a pas d'égalité, mais une inégalité, dite «inégalité triangulaire» :

Exemples

1) Déterminer le module de
Au lieu d'écrire sous forme algébrique pour calculer ensuite le module, on utilise la règle de calcul du quotient, ce qui donne moins de calcul.
2) Soit , prouver que .
Comme , on peut écrire : .
3) Soit et deux nombres complexes tels que et .
On pose . Prouver que est réel.
Comme et sont de module 1, on a et .
On calcule et on remplace en utilisant ces égalités.
Ainsi, , ce qui prouve que est un nombre réel.

 

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