Méthode d'Euler avec XCAS et fonction exponentielle
Introduction
On cherche à déterminer des fonctions définies et dérivables sur
et qui sont égales à leur dérivée.
Autrement dit on cherche des fonctions
tels que
,
.
On se rend très vite compte qu'on n'arrive pas à construire de telles fonctions en utilisant les fonctions de référence connues (excepté la fonction nulle).
On se propose de tracer des courbes représentatives de fonctions qui vérifient cette condition en utilisant la méthode d'Euler.
Méthode d'Euler
Le principe est de se donner un point de départ
, et de construire successivement des «petits segments» qui donnent la meilleure approximation possible de la courbe.
Il faut savoir que pour une fonction dérivable
, le «petit segment» qui donne la meilleure approximation possible au point d'abscisse
, est un segment de droite dont le coefficient directeur est
qui sera donc ici
, puisqu'on suppose que
.
On décide de s'occuper des points d'abscisses
,
,
, etc., où
est un nombre réel non nul.
Il va de soi que plus
est proche de 0, plus la précision de l'approximation est bonne.
On définit ainsi une suite arithmétique
d'abscisses, et le but de la méthode d'Euler est de construire la suite
des ordonnées correspondantes.
Le schéma ci-dessous illustre la première étape :
Une fois qu'on a obtenu le point
, on réitère le procédé pour obtenir
, etc.
Programme XCAS
Il s'agit de programmer les suites définies par :
Le programme ci-dessous prend en paramètres x0, y0, p et n où
indique le nombre de points à calculer.
Remarquez comment on conserve en mémoire tous les points calculés dans une liste de points, la liste de points étant ensuite utilisée pour tracer tous les segments
avec la fonction « polygone_ouvert ».
Fonction exponentielle
En prenant comme point initial (0,1) avec
et
, la «courbe» obtenue est l'approximation de la courbe de la fonction exponentielle sur l'intervalle
.
