Limites de fonctions par comparaison
Limites de fonctions par comparaison
et 
sont deux fonctions définies sur un intervalle 
« cohérent avec la limite calculée »
et 
représente 
, 
ou un nombre réel.
- Limite
Si pour tout
, 
et si 
,
alors 
- Limite
Si pour tout ,
et si 
,
alors 
Exemple
On considère la fonction définie sur 
par :
, 
.
En déduire la limite de en .
Pour démontrer l'inégalité on considère la différence et on étudie le signe de l'expression obtenue.
Pour , le signe de l'expression est le même que celui de 
.
Or, on sait que pour tout réel 
, on a 
.
En ajoutant 1 aux membres de l'inégalité précédente on obtient : 
.
Du coup, est positif et 
aussi ce qui donne .
et 
, donc par addition
.
Compte tenu de l'inégalité prouvée dans la première partie de l'exercice, on conclut, par comparaison que 
.
Pour , le signe de l'expression est le même que celui de .
Or, on sait que pour tout réel , on a .
En ajoutant 1 aux membres de l'inégalité précédente on obtient : .
Du coup, est positif et aussi ce qui donne .
et , donc par addition
.
Compte tenu de l'inégalité prouvée dans la première partie de l'exercice, on conclut, par comparaison que .
A voir aussi
- Limite d'une fonction en l'infini
- Asymptote oblique
- Limite infinie d'une fonction en un réel
- Règles de calcul sur les limites
- Limite d'une fonction polynôme ou rationnelle à l'infini
- Limite d'une fonction composée
- Théorème des gendarmes pour les fonctions
- Fonction continue
- Théorème des valeurs intermédiaires