Limite infinie d'une suite

Limite infinie

Soit une suite réelle.
La suite admet pour limite si tout intervalle de la forme (avec ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et l'on note
La suite admet pour limite si tout intervalle de la forme (avec ) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang et l'on note

 

 

Remarques

1. La définition ci-dessus revient à dire que l'on peut avoir aussi grand que l'on veut (en valeur absolue pour la limite ) dès que est suffisamment grand.
2. Toutes les suites arithmétiques de raison strictement positive tendent vers et toutes celles qui ont une raison strictement négative tendent vers .
3. Toutes les suites géométriques de raison strictement supérieure à 1 tendent vers si le premier terme est strictement positif et vers si le premier terme est strictement négatif.

Exemples

1. Soit la suite définie sur par .
Démontrer avec la définition que .
Soit un nombre réel.
On peut déjà remarquer que si , tous les termes de la suite sont dans l'intervalle , donc c'est le cas qui nous intéresse.
On cherche un certain rang tel que (car et sont des nombres positifs).
Soit le premier entier strictement supérieur à , alors on a pour tout , ou encore .
2. Soit la suite définie sur par :
a) Démontrer que, pour tout entier , .
b) En déduire, par comparaison, la limite de la suite .
a) Pour comparer avec , on procède par soustraction :
Pour tous les facteurs qui interviennent sont positifs, donc .
b) On sait que (limite d'une fonction linéaire), donc par comparaison .
Remarque : On peut aussi directement calculer la limite de en utilisant les techniques habituelles (on a une forme indéterminée, et le quotient a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré).

 

A voir aussi