Limite finie d'une suite
Limite finie
Soit 
une suite réelle.
La suite admet une limite finie 
si tout intervalle ouvert de centre contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Lorsque la suite admet une limite finie on dit qu'elle est convergente dans le cas
contraire on dit qu'elle est divergente.
une suite réelle.
La suite admet une limite finie si tout intervalle ouvert de centre contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Lorsque la suite admet une limite finie on dit qu'elle est convergente dans le cas
contraire on dit qu'elle est divergente.
Remarque
La définition ci-dessus revient à dire que l'on peut avoir
aussi proche de que l'on souhaite dès que 
est suffisament grand.
Exemple
On considère la suite définie pour tout entier naturel non nul par :
.
Démontrer en utilisant la définition, que cette suite converge vers 3.
Soit 
, on considère l'intervalle 
, on cherche un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.
Pour trouver ce rang, on résout l'inéquation :
.
Comme 
est positif, l'inéquation se réduit à 
.
Donc tous les termes de la suite sont dans l'intervalle centré en 3 et de rayon 
à partir du rang 
, avec , le premier entier strictement supérieur à 
.
Cela prouve que la suite converge vers 3.
, on considère l'intervalle , on cherche un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans cet intervalle.
Pour trouver ce rang, on résout l'inéquation :
.
Comme est positif, l'inéquation se réduit à .
Donc tous les termes de la suite sont dans l'intervalle centré en 3 et de rayon à partir du rang , avec , le premier entier strictement supérieur à .
Cela prouve que la suite converge vers 3.
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