Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Repérage polaire

On se place dans un repère orthonormal .
Pour tout point M du plan on considère le vecteur .
On appelle et à près avec .
Le couple noté , constitue des coordonnées polaires de M.

 

 

Lien entre repérage polaire et cartésien

On se place dans un repère orthonormal .
Soit M un point du plan de coordonnées cartésiennes (;) et de coordonnées polaires
  • est défini en résolvant :

Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Soit un nombre complexe non nul et M son image de coordonnées polaires .
L'écriture trigonométrique de est
est le module de et on le note .
L'angle est un argument de et on le note arg.

Remarques

1. Deux nombres complexes et non nuls sont égaux si et seulement si et avec .
2. Le nombre est de module 0, mais n'a pas d'argument, c'est pour cela que 0 n'a pas d'écriture trigonométrique.

Exemples

1) Déterminer la forme algébrique du nombre complexe , de module et dont un argument est .
2) Donner une forme trigonométrique de
On met le module en facteur :
On cherche tel que :
En s'aidant, au besoin, du cercle trigonométrique, on trouve ( avec ).
Finalement une écriture trigonométrique de est

 

A voir aussi