Forme exponentielle d'un nombre complexe

Notation exponentielle d'un complexe

Soit , de module et d'argument , l'écriture sous forme exponentielle de est :
On a donc la relation avec la forme trigonométrique : .

 

 

Remarque

Cette notation peut paraître surprenante, mais elle va être extrêment pratique pour manipuler les nombres complexes avec module et argument en remplacement de l'écriture trigonométrique.
On a cette possibilité parceque les règles de calcul sur les arguments sont parfaitement compatibles avec les règles de calcul sur les exponentielles.

Règles de calcul avec la notation exponentielle

Soit et deux nombres complexes non nuls d'écritures exponentielles : et
  • ,

Remarques

1. Les règles de calcul ci-dessus, sont les règles de calcul habituelles de l'exponentielle étendue aux exposants complexes.
2. Attention, la relation (appelée formule de Moivre) ne s'étend pas comme pour l'exponentielle réelle aux exposants non entiers.
Par exemple : donc on doit s'attendre à ce que , mais si on effectue le calcul (faux) : .

Exemples

1. Montrer que , et (Formules d'Euler).
On considère le nombre complexe : .
On sait que et si on exprime en notation exponentielle on obtient :
, ce qui donne .
De la même façon : et en exprimant en notation exponentielle :
, donc
2.a. Calculer en développant la formule d'Euler.
b. Après avoir effectué un regroupement habile, exprimer sans exposant (on dit qu'on effectue une linéarisation).
On utilise l'égalité remarquable : .

 

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