Fonction continue

Continuité

Soit une fonction définie en .
Si admet une limite en alors est continue en .
Dans ce cas on a automatiquement : .

 

 

Remarque

Toutes les fonctions «habituelles» étudiées au lycée sont continues sur leurs ensembles de définition, donc, dès qu'une fonction est définie en un réel , il ne se pose aucun problème de limite et on a directement .

Exemples de fonctions non continues

Exemple 1
La fonction n'est pas définie en 1, donc elle n'est pas continue en 1.
Cependant, , donc si on pose , on «rend» la fonction continue en 1, on dit qu'on fait un prolongement par continuité.
Exemple 2
La fonction n'a pas de limite en 1 à cause de , donc elle n'est pas continue en 1.
Par contre on a :
Exemple 3
On a , mais la fonction n'a pas de limite en 1, donc elle n'est pas continue en 1.
Cependant et .
On remarque que , dans ce cas la fonction est continue à droite, (mais elle n'est pas continue à gauche).
Exemple 4
La fonction n'a pas de limite en 1, donc elle n'est pas continue en 1.
On a et , ces deux limites sont différentes de .

 

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