Equation et inéquations avec le logarithme
Equations et inéquations avec logarithme
La stricte monotonie de la fonction logarithme népérien entraîne les équivalences suivantes lorsque 
et 
sont deux réels strictements positifs :
et sont deux réels strictements positifs :
-
-
(idem pour 
, 
, 
)
-
-
-
Exemples 1. Résoudre les équations suivantes. a)
b) 
2. Résoudre les inéquations suivantes.
a) 
b) 
1.a) L'équation est définie pour 
c'est à dire 
.
Donc l'équation a une seule solution qui est 
Ensemble de définition de l'équation
.
Donc l'équation a une seule solution qui est 1.
2.a) Ensemble de définition de l'inéquation
.
On étudie le signe de 
, les racines de ce trinôme sont 2 et 4.
Donc pour 
on a le tableau de signes :
On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle 
.
b) L'inéquation est définie pour 
et on pose 
.
On tombe sur le trinôme : 
dont les racines sont 
et 
.
On a le tableau de signes :
Donc 
Avec le changement de variable on obtient :
c'est à dire .
Donc l'équation a une seule solution qui est
Ensemble de définition de l'équation
.
Donc l'équation a une seule solution qui est 1.
2.a) Ensemble de définition de l'inéquation
.
On étudie le signe de , les racines de ce trinôme sont 2 et 4.
Donc pour on a le tableau de signes :
.
b) L'inéquation est définie pour et on pose .
On tombe sur le trinôme : dont les racines sont et .
On a le tableau de signes :
Avec le changement de variable on obtient :
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