Ecriture complexe des transformations du plan

Généralités sur les transformations complexes

On considère une transformation du plan.
Pour tout point on note son image par la transformation ( et désignent les affixes de et ).
L'écriture complexe de la transformation est un fonction définie de dans par :
ou encore
On appelle point fixe de la transformation tout point confondu avec son image.
Les affixes des points fixes éventuels sont les solutions de l'équation .

 

 

Ecriture complexe de la translation

On considère la translation de vecteur d'affixe .
L'écriture complexe est :

Ecriture complexe de l'homothétie

On considère l'homothétie de centre d'affixe et de rapport .
L'écriture complexe est : ou encore

Ecriture complexe de la rotation

On considère la rotation de centre d'affixe et d'angle .
L'écriture complexe est : ou encore

Remarques

1. Une translation n'a pas de point fixe.
2. Une homothétie ou une rotation possède un unique point fixe : son centre.

Exemple

On considère la transformation d'écriture complexe :
a) Montrez que cette transformation possède un unique point fixe que vous déterminerez et noterez .
b) Montrer que où est un nombre réel,
en déduire la nature et les caractéristiques de la transformation.
a) Pour trouver les points fixes on résout l'équation :
Donc la transformation possède un unique point fixe d'affixe .
b)
Donc la transformation est la rotation de cente et d'angle .

 

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