Convergence des suite monotones
Propriétés des suites monotones
- Soit
une suite réelle croissante.
Si est majorée, alors est convergente.
Si n'est pas majorée, alors diverge vers 
.
- Soit une suite réelle décroissante.
Si est minorée, alors est convergente.
Si n'est pas minorée, alors diverge vers
.
Remarques
1. Toute suite croissante convergente est minorée par son premier terme et majorée par sa limite. 2. Toute suite décroissante convergente est minorée par sa limite et majorée par son premier terme.Exemple
Soit la suite définie par 
et pour tout entier naturel 
: 
.
1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel , 
.
2. Démontrer que la suite est croissante.
3. Que peut-on dire de la convergence de la suite ?
1. La propriété à montrer pour tout entier 
est :
«
».
Initialisation
On a , soit 
.
Donc 
est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un certain rang 
, on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang 
.
On part de l'hypothèse de récurrence :
donc 
En multipliant l'inégalité par 
, on obtient : 
.
En ajoutant 
: 
soit 
.
Donc 
est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang 
et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
2. Pour étudier le sens de variation de , on peut comparer 
et 
en regardant le signe de 
:
On peut étudier le signe du numérateur à partir du trinôme du second degré : 
, dont les racines sont : 
et 
.
Comme 
, est « entre les racines » et donc le numérateur est toujours du signe contraire du coefficient de 
, soit positif.
Le dénominateur est également positif (
).
On conclut que pour tout entier naturel , 
, soit 
, ce qui montre que la suite est croissante.
3. La suite en question est croissante et majorée par 3, donc elle est convergente.
Il faut remarquer que l'on ne connait pas sa limite, en particulier la limite de la suite n'est pas forcément le majorant mis en évidence.
est :
«
».
Initialisation
On a , soit .
Donc est vraie.
Hérédité
On suppose que la propriété est vraie à un certain rang , on a donc l'hypothèse de récurrence :
On montre qu'alors la propriété est vraie au rang .
On part de l'hypothèse de récurrence :
donc
En multipliant l'inégalité par , on obtient : .
En ajoutant : soit .
Donc est vraie.
Ainsi la propriété est vraie au rang et elle est héréditaire donc selon le principe de récurrence la propriété
est vraie pour tout entier .
2. Pour étudier le sens de variation de , on peut comparer et en regardant le signe de :
On peut étudier le signe du numérateur à partir du trinôme du second degré : , dont les racines sont : et .
Comme , est « entre les racines » et donc le numérateur est toujours du signe contraire du coefficient de , soit positif.
Le dénominateur est également positif ().
On conclut que pour tout entier naturel , , soit , ce qui montre que la suite est croissante.
3. La suite en question est croissante et majorée par 3, donc elle est convergente.
Il faut remarquer que l'on ne connait pas sa limite, en particulier la limite de la suite n'est pas forcément le majorant mis en évidence.
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