Asymptote oblique

Définition de l'asymtote oblique

Soit une fonction pour laquelle .
On dit que la courbe représentative de admet en (ou selon le cas) une asymptote «oblique» d'équation si et seulement si

 

 

Remarques

1. Lorsque , il se peut (et cela arrive «souvent») qu'il n'y ait pas d'asymptote oblique.
2. On peut étudier les positions relatives de la courbe représentative de et de l'asymptote en étudiant le signe de .

Exemple

On considère la fonction définie par
a. Calculer les limites à l'infini de .
Que peut-t-on en déduire en terme d'asymptote ?
b. Montrer que pour tout ,
c. Montrer que la courbe représentative de admet une asymptote oblique à l'infini.
d. Etudier la position de la courbe représentative de et de l'asymptote.
Un petit dessin pour voir ce qu'il se passe :
a. On remarque qu'on a une forme indéterminée.
Pour lever l'indétermination on met en facteur :
L'expression de ainsi obtenue est valide pour et , ce qui ne pose aucun problème puisqu'on va l'utiliser pour déterminer les limites à l'infini.
Limite en
et (Fonctions de réference)
Par addition :
Par quotient :
Limite en
et (Fonctions de réference)
Par addition :
Par quotient :
D'après les résultats précédents, on peut affirmer que :
  • La courbe représentative de n'admet pas d'asymptote «horizontale»,
  • La courbe représentative de peut éventuellement admettre des asymptotes «obliques».
b. Le plus simple est de partir de :
c. Le résultat précédent suggère que l'asymptote oblique est la droite d'équation .
Pour le montrer on calcule :
Et on calcule les limites à l'infini de :
En : et par quotient
En : et par quotient
On en conclut que la droite d'équation est asymptote oblique en et en à la courbe représentative de .
d. On étudie le signe de .
Le signe de l'expression est le même que celui de , et on a immédiatement :
Donc pour et
pour
(On n'oublie pas que n'est pas définie en 1).
Donc la courbe représentative de est :
  • au dessus de l'asymptote pour ;
  • en dessous de l'asymptote pour .

 

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