Argument d'un nombre complexe

Définition de l'argument

Le plan est muni d'un repère orthonormal .
Soit un nombre complexe non nul d'image M.
Un argument de , noté est une mesure en radian de l'angle .

 

 

Remarque

Les arguments d'un nombre complexe sont définis comme les mesures d'angle à près avec .

Manipulation des arguments

On considère et deux nombres complexes non nuls.
Les égalités entre arguments sont valables à près avec .
En relation avec la partie réelle et imaginaire
  • imaginaire pur
Avec les opérations

Exemple

On considère le nombre complexe avec .
1. Déterminer un argument de en fonction de .
2. Déterminer les valeurs de pour lesquelles :
a) est un réel strictement positif b) est un imaginaire pur.
1. On commence par déterminer le module de :
Donc .
Pour l'argument on cherche donc tel que :
En utilisant, au besoin, un cercle trigonométrique, on trouve avec .
On a donc
2.a.
On conclut que est un réel positif équivaut à est multiple de 12.
b.
Ainsi, est imaginaire pour entier de la forme précédente (avec ).
On peut remarquer que les suite d'entiers obtenues sont :
et
Ces deux suites peuvent se regrouper en une seule suite définie par avec , c'est la suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 6.

 

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