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Pondichéry 2010 : Exercice de spécialité

Les parties A et B peuvent, dans leur quasi-totalité, être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans cette partie, on se propose d'étudier des couples d'entiers strictement positifs, tels que :

Soit un tel couple et . On note et les entiers tels que et .


1.

Montrer que .

On part de et on remplace et par et ce qui donne :

2.

En déduire que divise , puis que .

On écrit l'égalité obtenue à la question précédente sous la forme : .
En interprétant cette égalité en terme de divisibilité on peut dire que divise (car il existe un entier tel que , avec ).
Etant donné la définition de et à partir du PGCD de et , et sont premiers entre eux.
Ainsi divise avec premier avec , donc d'après le théorème de Gauss, divise .
On sait maintenant que divise avec et premiers entre eux, donc est égal à 1 (si était un entier strictement postif différent de 1 cela contredirait le fait que et sont premiers entre eux).
3.

Soit un couple d'entiers strictement positifs.

Démontrer que l'on a si et seulement si et sont respectivement le cube et le carré d'un même entier.

Sens « direct »
D'après ce qui précède entraîne et , ce qui donne en remplaçant par 1 :
, puis , puis .
Donc et sont le cube et le carré d'une même entier (cet entier étant ).
Réciproque
On suppose qu'il existe un entier tel que et , alors :
et , donc .
4.

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse. sera prise en compte dans l'évaluation.

Montrer que si est le carré d'un nombre entier naturel et le cube d'un autre entier, alors

On suppose que et que (donc ).
D'après la question précédente il existe un entier tel que et , donc .
On détermine les valeurs possibles modulo 7 pour une puissance de 6.
On remarque que modulo 7, est toujours congrus à 0 ou 1.

Partie B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal , on considère la surface d'équation .

Pour tout réel , on note la section de par le plan d'équation .


1.

Les graphiques suivants donnent l'allure de tracée dans le plan d'équation , selon le signe de .

Attribuer à chaque graphique l'un des trois cas suivants :

et justifier l'allure de chaque courbe.

Si
Il n'existe aucun couple de nombres réels tels que , donc le graphique correspondant est le graphique 2.
Si
, donc la section est la réunion de deux droites, le graphique correspondant est le graphique 1.
Si
Donc la section est la réunion de deux hyperboles, le graphique correspondant est le graphique 3.
2.
2.a.

Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.

Il s'agit de résoudre dans l'ensemble des entiers strictement positifs l'équation :

Comme 5 est premier les solutions pour l'équation sont :
Il y a 4 points à coordonnées entières positives sur ce sont :
2.b.

Pour cette question, on pourra éventuellement s'aider de la question de la partie A.

Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des nombres entiers strictement positifs.

Cette fois il faut résoudre dans l'ensemble des entiers strictement positifs l'équation : .
On utilise comme suggéré dans l'énoncé, la question 3 de la partie A.

On remarque immédiatement que 2010 n'est pas le carré d'un entier, donc l'équation n'a pas de solution.