Pondichéry 2010 : Exercice 4
On considère la suite 
définie par :
et pour tout 
.
1.
Calculer 
et 
.
On a directement :
2.a.
Démontrer que pour tout entier naturel 
.
On veut montrer la propriété 
: « 
» pour 
.
On commence par calculer 
:
, donc 
est vraie.
On suppose que 
est vraie pour un certain rang 
(hypothèse de récurrence).
On veut montrer qu'alors 
est vraie, pour cela on part de 
qui par hypothèses est positif :
et est héréditaire pour , selon le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout .
2.b.
: « » pour .
On commence par calculer :
, donc est vraie.
On suppose que est vraie pour un certain rang (hypothèse de récurrence).
On veut montrer qu'alors est vraie, pour cela on part de qui par hypothèses est positif :
est vraie.
Ainsi la propriété considérée est initialisée pour et est héréditaire pour , selon le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout .
En déduire que pour tout entier naturel 
.
On sait d'après ce qui précède que pour , , donc :
, on a alors 
(puisque ).
L'inégalité 
s'écrit : 
.
Donc 
.
2.c.
, , donc :
, on a alors (puisque ).
L'inégalité s'écrit : .
Donc .
En déduire la limite de la suite .
A partir du rang 5, 
et on a 
, donc par comparaison on en déduit que 
.
3.
et on a , donc par comparaison on en déduit que .
On définit la suite 
par : pour tout 
.
3.a.
Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on donnera la raison et le
premier terme.
On a :
est bien une 
.
Son premier terme est 
3.b.
est bien une .
Son premier terme est
En déduire que pour tout 
.
On exprime 
en fonction de 
:
et de raison 
on a :
3.c.
en fonction de :
est une suite géométrique de premier terme et de raison on a :
Soit la somme 
définie pour tout entier naturel 
par 
.
en fonction de .
