Pondichéry 2010 : Exercice 3
Une urne contient 10 boules blanches et 
boules rouges, étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On fait tirer à un joueur des boules de l'urne. A chaque tirage, toutes les boules ont la même probabilité d'être tirées. Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 euros et pour chaque boule rouge tirée, il perd 3 euros.
la variable aléatoire correspondant au gain algébrique obtenu par le joueur.
Les trois questions de l'exercice sont indépendantes.
1.
Le joueur tire deux fois successivement et sans remise une boule de l'urne.
1.a.
Démontrer que : 
.
) et une boule rouge (
).
Le joueur fait un tirage sans remise et l'ordre des boules tirées n'a aucune incidence sur le gain algébrique, on peut donc utiliser un modèle de tirage simultané pour répondre à la question.
L'urne contient 
boules, le nombre de combinaisons à 2 éléments est :
boules rouges et 10 boules blanches donc il y a 
combinaisons de 2 éléments contenant une boule rouge et une boule blanche (il s'agit de combinaisons de deux éléments pris dans deux ensembles disjoints à ne pas confondre avec les combinaisons de deux éléments pris dans un même ensemble).
On est dans une situation d'équibrobabilité donc 
Calculer, en fonction de la probabilité correspondant aux deux autres valeurs prises par la variable .
) et le tirage
de deux boules rouges (gain : 
).
Le nombre de combinaisons de 2 boules blanches est : 
donc :
, donc :
Vérifier que l'espérance mathématique de la variable aléatoire vaut :
Déterminer les valeurs de pour lesquelles l'espérance mathématique est strictement positive.
est un entier strictement positif donc 
et donc le signe de 
est le même que celui de 
.
Pour étudier le signe de ce trinôme du second degré on calcule son discriminant :
.
Le discriminant étant positif le trinôme admet deux racines :
et
On en déduit le tableau de signes :
est un entier supérieur ou égal à deux, on en déduit que
Le joueur tire 20 fois successivement et avec remise une boule de l'urne. Les tirages sont indépendants.
Déterminer la valeur minimale de l'entier afin que la probabilité d'obtenir au moins une boule rouge au cours de ces 20 tirages soit strictement supérieure à 
.
qui donne le nombre
de succès obtenus suit une loi Binomiale de paramètres 20 et 
.
On cherche la probabilité de l'événement 
, cependant il est plus facile de déterminer la
probabilité de l'événement contraire donc :
Donc 
.
On suppose que 
. L'urne contient donc 10 boules blanches et 1000 boules rouges.
suivant la loi :
3.a.
Calculer la probabilité que le joueur ait besoin de tirer au plus 50 boules pour avoir une boule blanche, soit 
.
Calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement : « le joueur a tiré au maximum 60 boules pour tirer une boule blanche »{} sachant l'évènement « le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche ».
.
L'événement : « le joueur a tiré plus de 50 boules pour tirer une boule blanche » est 
.
On doit calculer 
, ce qui donne :
et : 
Donc : 