Pondichéry 2010 : Exercice 2
L'espace est muni d'un repère orthonormal 
.
1.
La droite de représentation paramétrique 
est parallèle au plan dont une
équation cartésienne est : 
.
On lit directement un vecteur directeur de la droite sur sa représentation paramétrique : 
.
On lit directement un vecteur normal du plan sur son équation cartésienne : 
.
On calcule le produit scalaire : 
.
Ce résultat nous montre que 
et 
sont orthogonaux et par conséquent que la droite et le plan sont parallèles.
.
On lit directement un vecteur normal du plan sur son équation cartésienne : .
On calcule le produit scalaire : .
Ce résultat nous montre que et sont orthogonaux et par conséquent que la droite et le plan sont parallèles.
Les plans 
d'équations respectives 
et 
n'ont pas de point commun.
Pour trouver le point commun éventuel aux trois plans on résout le système :
et 
.
En posant 
on obtient une représentation paramétrique de cette droite :
, 
et 
ont une infinité de points communs.
3.
et .
En posant on obtient une représentation paramétrique de cette droite :
, et ont une infinité de points communs.
Les droites de représentations paramétriques respectives :
et 
sont sécantes.
Par lecture sur les représentations paramétriques des droites on a :
un vecteur directeur pour la première droite : 
et pour la deuxième droite : 
.
On remarque que ces vecteurs ne sont pas colinéaires (les coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc les droites ne sont pas parallèles. Comme on travaille dans l'espace cela ne suffit pas pour affirmer que les droites sont sécantes. On va donc résoudre le système :
par 
dans la représentation paramétrique de la première droite ce qui donne 
.
4.
et pour la deuxième droite : .
On remarque que ces vecteurs ne sont pas colinéaires (les coordonnées ne sont pas proportionnelles), donc les droites ne sont pas parallèles. Comme on travaille dans l'espace cela ne suffit pas pour affirmer que les droites sont sécantes. On va donc résoudre le système :
par dans la représentation paramétrique de la première droite ce qui donne .
On considère les points :
B
C
.
On calcule les coordonnées des vecteurs 
et 
:
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc
les points A, B et C ne sont pas alignés et enfin A, B et C définissent bien un plan.
L'équation proposée est celle d'un plan, pour vérifier que c'est une équation de (ABC) il suffit de vérifier que les coordonnées de A, B et C vérifient cette équation.
Pour A : 
, c'est bon !
Pour B : 
, c'est bon !
Pour C : 
, c'est bon !
Donc l'équation 
est bien une équation de (ABC).
5.
et :
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires, donc
les points A, B et C ne sont pas alignés et enfin A, B et C définissent bien un plan.
L'équation proposée est celle d'un plan, pour vérifier que c'est une équation de (ABC) il suffit de vérifier que les coordonnées de A, B et C vérifient cette équation.
Pour A : , c'est bon !
Pour B : , c'est bon !
Pour C : , c'est bon !
Donc l'équation est bien une équation de (ABC).
On considère les points :
B
C
On détermine si A, B et C sont alignés et pour cela
on calcule les coordonnées des vecteurs 
et 
:
On remarque que ces vecteurs n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires et par conséquent A, B et C ne sont pas alignés.
Les points n'étant pas alignés, le point C ne peut pas être barycentre de A et B.
et :
On remarque que ces vecteurs n'ont pas leurs coordonnées proportionnelles donc ils ne sont pas colinéaires et par conséquent A, B et C ne sont pas alignés.
Les points n'étant pas alignés, le point C ne peut pas être barycentre de A et B.