Pondichéry 2010 : Exercice 1
PARTIE A - Restitution organisée de connaissance
Soit 
et 
deux réels tels que 
et 
et 
deux fonctions continues sur l'intervalle 
.
- Pour tous réels
et 
: 
.
- Si pour tout
alors 
.
alors 
.
Les fonctions et sont continues sur de même que 
.
Pour tout 
:
et sont continues sur de même que .
Pour tout :
PARTIE B
Soit 
un entier naturel non nul. On appelle 
la fonction définie sur 
par
.
On note 
la courbe représentative de dans un repère orthonormal 
.
1.
1.a.
Déterminer la limite de 
en 
.
La fonction considérée est définie par : 
.
On a : 
(limite d'une fonction affine).
Par composition 
1.b.
.
On a : (limite d'une fonction affine).
Par composition
Etudier les variations de sur 
.
Sur , la fonction 
est la composée de la fonction croissante 
à valeurs dans 
et de la fonction 
définie et croissante sur . Donc d'après le théorème sur les variations d'une fonction composée 
.
1.c.
, la fonction est la composée de la fonction croissante à valeurs dans et de la fonction définie et croissante sur . Donc d'après le théorème sur les variations d'une fonction composée .
A l'aide d'une intégration par parties, calculer 
et interpréter graphiquement le résultat.
on pourra utiliser le résultat suivant :
pour tout 
)
Il s'agit de calculer : 
.
On pose 
et 
, où 
et 
sont dérivables et à dérivées continues sur 
.
On a 
et 
et la formule d'intégration par parties donne :
, 
, donc 
et par conséquent 
est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe 
et les droites d'équations 
et 
.
2.
.
On pose et , où et sont dérivables et à dérivées continues sur .
On a et et la formule d'intégration par parties donne :
, , donc et par conséquent est égale à l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équations et .
2.a.
Montrer que pour tout entier naturel non nul , on a 
.
Pour tout et tout entier 
on a successivement :
2.b.
et tout entier on a successivement :
Etudier les variations de la suite 
Pour tout entier non nul et , on a :
2.c.
non nul et , on a :
En déduire que la suite est convergente.
D'après ce qui précède la suite 
est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
3.
est décroissante et minorée par 0, donc elle est convergente.
Soit la fonction définie sur 
par
3.a.
Etudier le sens de variation de sur .
La fonction est dérivable sur et on a :
Comme 
, 
et 
, donc 
, ce qui justifie que
la fonction 
sur l'intervalle considéré.
3.b.
est dérivable sur et on a :
Comme , et , donc , ce qui justifie que
la fonction sur l'intervalle considéré.
En déduire le signe de sur .
non nul, et pour tout 
réel positif, on a
On a 
et comme est décroissante sur , on en conclut que pour tout de cet intervalle 
.
L'inégalité 
entraîne 
, soit 
.
Donc pour tout réel 
, 
.
Pour tout réel 
et entier 
, 
et en posant 
on a donc 
.
3.c.
et comme est décroissante sur , on en conclut que pour tout de cet intervalle .
L'inégalité entraîne , soit .
Donc pour tout réel , .
Pour tout réel et entier , et en posant on a donc .
En déduire la limite de la suite 
.
En partant de l'inégalité précédente on a :
(question 2.a.), du coup on a l'encadrement :
, donc d'après le théorème des gendarmes 
.
, (question 2.a.), du coup on a l'encadrement :
, donc d'après le théorème des gendarmes .