Bac de maths

Sujet et corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths d'avril 2015 à Pondichéry

Cacher les corrigés

PARTIE A

Soit la fonction définie sur par .

Sur le graphique ci-après, on a tracé dans un repère orthogonal , la courbe réprésentative de la fonction et la droite d'équation .

1. Démontrer que la fonction est strictement croissante sur .

La fonction est dérivable sur et on peut écrire :

avec :

;

Donc

Pour tout :

donc , ce qui prouve que est strictement croissante sur .

2. Justifier que la droite est asymptote à la courbe .

On détermine la limite de en :

; , donc par composition : et en ajoutant 1 :

Finalement par quotient : .

Ce résultat de limite justifie que la droite d'équation est asymptote à la courbe en .

3. Démontrer que l'équation admet une unique solution sur .

Déterminer un encadrement de d'amplitude .

La fonction est continue et strictement croissante sur , avec :

Comme , d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation admet une unique solution dans .

On notera que l'équation ne peut pas avoir de solution dans , car sur cet intervalle le maximum de la fonction est , donc l'équation admet bien une unique solution sur .

Par balayage on trouve l'encadrement : .

PARTIE B

Soit la fonction définie sur par .

1. Justifier que la fonction est positive sur .

D'après l'étude précédente est strictement croissante et de limite 3 en , donc est majorée par sur , du coup pour tout :

ce qui donne et donc .

2. On désigne par la fonction définie sur par .

Démontrer que est une primitive de sur .

La fonction proposée est dérivable sur et on a :

;

Donc

D'autre part :

Du coup on a bien pour tout : , ce qui montre que est une primitive de sur .

3. Soit un réel strictement positif.

a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale .

Comme (bornes dans le bon ordre), et comme , l'intégrale représente l'aire du domaine délimité par :

  • la droite ,

  • la courbe ,

  • les droites d'équations et .

b. Démontrer que .

c. On note l'ensemble des points du plan défini par .

Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine .

Il s'agit de calculer :

(voir question A.2), donc par quotient : .

Du coup : u.a.

Licence Creative Commons

Conditions Générales d'Utilisation