Corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths d'avril 2013 à Pondichéry
Cacher les corrigés
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
![](/image/im004640.png)
.
On note
![](/image/im000410.png)
le nombre complexe tel que
![](/image/im000411.png)
.
On considère le point A d'affixe
![](/image/im004641.png)
et le point B d'affixe
![](/image/im004642.png)
.
A tout point M d'affixe
![](/image/im004643.png)
, avec
![](/image/im000153.png)
et
![](/image/im000506.png)
deux réels tels que
![](/image/im004644.png)
, on associe le point M' d'affixe
![](/image/im004645.png)
.
On désigne par I le milieu du segment [AM].
Le but de l'exercice est de montrer que pour tout point M n'appartenant pas à (OA), la médiane (OI) du triangle OAM est aussi
une hauteur du triangle OBM' (propriété 1) et que BM'=2OI (propriété 2).
1. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend
![](/image/im004646.png)
.
a. Déterminer la forme algébrique de
![](/image/im004647.png)
.
b. Montrer que
![](/image/im004649.png)
.
Déterminer le module et un argument de
![](/image/im004650.png)
.
![](/image/im004652.png)
.
Donc
Pour déterminer un argument de
![](/image/im004650.png)
on cherche une mesure
![](/image/im000510.png)
telle que
On peut prendre
![](/image/im004655.png)
, donc
![](/image/im004656.png)
.
c. Placer les points A, B, M, M' et I dans le repère
![](/image/im004640.png)
en prenant 2 cm pour unité graphique.
Tracer la droite (OI) et vérifier rapidement les propriétés 1 et 2 à l'aide du graphique.
2. On revient au cas général en prenant
![](/image/im004643.png)
avec
![](/image/im004644.png)
.
a. Déterminer l'affixe du point I en fonction de
![](/image/im000153.png)
et
![](/image/im000506.png)
.
b. Déterminer l'affixe du point M' en fonction de
![](/image/im000153.png)
et
![](/image/im000506.png)
.
c. Ecrire les coordonnées des points I, B et M'.
D'après ce qui précède on a directement :
d. Montrer que la droite (OI) est une hauteur du triangle OBM'.
Si la droite (OI) est une hauteur de OBM' alors c'est la hauteur issue de O relative au côté [BM']. Il faut donc vérifier
que (OI) est perpendiculaire à (BM').
On calcule les coordonnées des vecteurs :
![](/image/im004661.png)
et
![](/image/im004662.png)
.
On utilise la formule du produit scalaire en repère orthonormé :
Du coup les vecteurs
![](/image/im004664.png)
et
![](/image/im004665.png)
sont orthogonaux et les droites (OI) et (BM') sont perpendiculaires ce qui
montre que (OI) est une hauteur du triangle OBM'.
e. Montrer que BM'=2OI.
On calcule les normes des vecteurs
![](/image/im004665.png)
et
![](/image/im004664.png)
:
Ainsi
![](/image/im004668.png)
ou encore BM'=2OI.
Conditions Générales d'Utilisation