Corrigé de l'exercice 1 du bac S de maths d'avril 2013 à Pondichéry
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Partie 1
On s'intéresse à l'évolution de la hauteur d'un plant de maïs en fonction du temps. Le graphique ci-dessous représente cette évolution. La hauteur est en mètres et le temps en jours.
et 
sont des constantes réelles positives, 
est la variable temps exprimée en jours et 
désigne
la hauteur du plant, exprimée en mètres.
On sait qu'initialement, pour 
, le plant mesure 0,1 m et que sa hauteur tend vers une hauteur
limite de 2 m.
Déterminer les constantes et afin que la fonction 
corresponde à la croissance du plant de maïs
étudié.
La condition 
donne : 
La condition 
donne :
;
par composition 
et donc
Finalement par quotient : 
.
Du coup 
et de plus : 
Donc et 
.
donne :
La condition donne :
;
par composition et donc
Finalement par quotient : .
Du coup et de plus :
Donc et .
Partie 2
On considère désormais que la croissance du plant de maïs est donnée par la fonction
définie sur
par
en fonction de (
désignant la fonction dérivée de la fonction ).
En déduire les variations de la fonction sur l'intervalle .
La fonction est dérivable sur .
On utilise la formule de dérivation : 
avec :
et 
Donc 
Pour tout 
le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue sont strictement positifs donc la fonction
est strictement croissante sur l'intervalle considéré.
2. Calculer le temps nécessaire pour que le plant de maïs atteigne une hauteur supérieure à 1,5 m.
est dérivable sur .
On utilise la formule de dérivation : avec :
et
Donc
Pour tout le numérateur et le dénominateur de la fraction obtenue sont strictement positifs donc la fonction
est strictement croissante sur l'intervalle considéré.
Il s'agit de résoudre l'inéquation :
où 
Donc le maïs dépasse la hauteur de 1,5 m à partir du 102
jour.
3.a. Vérifier que pour tout réel
où
Donc le maïs dépasse la hauteur de 1,5 m à partir du 102 jour.
appartenant à l'intervalle on a
définie sur l'intervalle par 
est
une primitive de la fonction .
Pour tout 
: 
La fonction proposée est dérivable sur et on a en utilisant la formule de la dérivée de 
:
Donc est bien une primitive de .
b. Déterminer la valeur moyenne de :
La fonction proposée est dérivable sur et on a en utilisant la formule de la dérivée de :
Donc est bien une primitive de .
sur l'intervalle 
.
En donner une valeur approchée à
près et interpréter ce résultat.
La valeur moyenne est définie par :
La hauteur moyenne du plant de maïs sur la période considérée (du 50 au 100 jour) est d'environ 1,03 m.
4. On s'intéresse à la vitesse de croissance du plant de maïs ; elle est donnée par la fonction dérivée
de la fonction
La hauteur moyenne du plant de maïs sur la période considérée (du 50 au 100 jour) est d'environ 1,03 m.
.
La vitesse de croissance est maximale pour une valeur de .
En utilisant le graphique, déterminer une valeur approchée de celle-ci.
Estimer alors la hauteur du plant.
Le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe représentative de correspond à la vitesse de croissance.
Par observation graphique ce coefficient est maximum autour de 
. (On peut voir cela facilement en glissant une règle le long de la courbe).
On en déduit que la vitesse de croissance est maximale vers le 80 jour, le maïs ayant une hauteur d'environ 1,10 m.
correspond à la vitesse de croissance.
Par observation graphique ce coefficient est maximum autour de . (On peut voir cela facilement en glissant une règle le long de la courbe).
On en déduit que la vitesse de croissance est maximale vers le 80 jour, le maïs ayant une hauteur d'environ 1,10 m.
