Corrigé de l'exercice 4 du bac S 2012 de maths à Pondichéry
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Partie A : Restitution organisée de connaissances
Soit
un nombre complexe. On rappelle que 
est le conjugué de et que 
est le module de .
On admet l'égalité : 
.
Montrer que, si 
et 
sont deux nombres complexes, alors 
.
On a donc l'égalité entre carrés : 
et comme les modules sont positifs on en déduit que 
.
Partie B : Etude d'une transformation particulière
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct
, on désigne par A et B les points d'affixes respectives 
et 
.
Soit 
la transformation du plan qui à tout point 
d'affixe 
, associe le point 
d'affixe 
tel que:
.
a. Calculer l'affixe 
du point C' image de C par la transformation , et placer les points C et C'.
b. Montrer que le point C' appartient au cercle
de centre O et de rayon 1.
On a 
Donc C'
.
c. Montrer que les points A, C et C' sont alignés.
Donc C'.
On a :
donc les vecteurs 
et 
sont colinéaires
ce qui prouve que A, C et C' sont alignés.
2. Déterminer et représenter sur la figure l'ensemble -
.
-
donc les vecteurs et sont colinéaires
ce qui prouve que A, C et C' sont alignés.
des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation .
avec , a pour image A par équivaut à :
Donc l'ensemble cherché est constitué des points de la droite d'équation 
privée de A (on n'oublie pas que ).
distinct de A, le point appartient au cercle .
On a pour tout :
Donc 
, ce qui justifie que 
.
4. Montrer que, pour tout nombre complexe :
Donc , ce qui justifie que .
est réel.
Que peut-on en déduire pour les points A, et ?
Pour , on a :
On obtient un résultat qui ne contient que des nombres réels donc 
.
Pour 
et 
, on remarque que 
, or
est réel, dont un argument est 0 ou 
, soit 
ou 
ce qui justifie que A, et sont alignés.
5. On a placé un point D sur la figure. Construire son image D' par la transformation , on a :
On obtient un résultat qui ne contient que des nombres réels donc .
Pour et , on remarque que , or
est réel, dont un argument est 0 ou , soit ou ce qui justifie que A, et sont alignés.
.
Le point D' est sur et est aligné avec A et D, donc D' est à l'intersection du cercle et de la droite (AD).
et est aligné avec A et D, donc D' est à l'intersection du cercle et de la droite (AD).
