Sujet et corrigé de l'exercice 3 du bac S de maths de juin 2014 en Polynésie
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Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.
1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture.
Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre.
Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 80 % des cas.
Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.
Affirmation 1 :
« Zoé utilise la voiture un jour sur deux. »
On note :
A l'événement : « il pleut »
V l'événement : « Zoé prend sa voiture »
On peut utiliser un arbre pour mieux voir ce qu'il se passe :
A et forment une partition de l'univers et d'après la formule des probabilités totales :
Donc l'affirmation est VRAIE.
2. Dans l'ensemble E des issues d'une expérience aléatoire, on considère deux événements A et B.
Affirmation 2 :
« Si A et B sont indépendants, alors A et sont aussi indépendants ».
L'affirmation est VRAIE (propriété vue en cours).
Démonstration :
Les événements B et forment une partition de l'univers, donc :
Comme A et B sont indépendants on a
en remplaçant on obtient :
d'où l'on tire :
Ce qui montre que A et sont indépendants.
3. On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre .
Affirmation 3 :
« La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est environ. »
Donc l'affirmation est FAUSSE.
Affirmation 4 :
« Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes. »
L'espérance de la variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle est :
Donc le temps d'attente moyen n'est pas de 7 minutes.
L'affirmation est FAUSSE.
4. On sait que 39 % de la population française est du groupe sanguin A+.
On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang.
On interroge donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont du groupe sanguin A+.
Affirmation 5 :
« On ne peut pas rejeter, au seuil de 5 %, l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans l'ensemble de la population. »
La taille de l'échantillon étudié est , donc
On note , la proportion à « tester », et on a :
, donc
, donc
Les conditions usuelles d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont vérifiées et on a au seuil de 95 % :
soit
Comme , on ne peut pas rejeter l'hypothèse.
L'affirmation est VRAIE.
