Sujet et corrigé de l'exercice de spécialité du bac S de maths de juin 2013 en Polynésie
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Un opérateur téléphonique A souhaite prévoir l'évolution du nombre de ses abonnés dans une grande ville par rapport à son principal concurrent B à partir de 2013. En 2013, les opérateurs A et B ont chacun 300 milliers d'abonnés. Pour tout entier naturel![](/image/im000061.png)
![](/image/im005413.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005415.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005667.png)
![](/image/im005668.png)
Des observations réalisées les années précédentes conduisent à modéliser la situation par la relation suivante : pour tout entier naturel
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005669.png)
![](/image/im005670.png)
![](/image/im005671.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005672.png)
![](/image/im005564.png)
En utilisant la relation fournie on obtient :
b. Vérifier que, pour tout entier naturel ![](/image/im005673.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005674.png)
On calcule déjà :
En ajoutant P, on obtient :
,
ce qui correspond bien à
![](/image/im005675.png)
![](/image/im005676.png)
![](/image/im005677.png)
2. On note I la matrice
![](/image/im005678.png)
![](/image/im005679.png)
On a déjà :
Puis :
b. En déduire que la matrice ![](/image/im005680.png)
![](/image/im005681.png)
![](/image/im005682.png)
D'après le calcul précédent la matrice
est inversible et son inverse
est
.
c. Déterminer la matrice U telle que ![](/image/im005682.png)
![](/image/im005683.png)
![](/image/im005684.png)
![](/image/im005685.png)
![](/image/im005682.png)
![](/image/im005686.png)
![](/image/im005687.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005688.png)
Pour tout entier naturel
on a :
b. En déduire que, pour tout entier naturel ![](/image/im000061.png)
![](/image/im005689.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005690.png)
On peut faire une démonstration par récurrence de la propriété :
:
«
».
Initialisation au rang 0
, donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité
On suppose qu'à un rang q on a :
On a alors :
Donc la propriété est vraie au rang
, ce qui prouve l'hérédité.
La propriété est vraie au rang 0, elle est héréditaire, donc elle vraie pour tout entier
naturel.
4. On admet que, pour tout entier naturel ![](/image/im000353.png)
![](/image/im005690.png)
![](/image/im005691.png)
![](/image/im005692.png)
![](/image/im005693.png)
![](/image/im000093.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005694.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im005558.png)
![](/image/im000061.png)
![](/image/im002257.png)
![](/image/im005695.png)
![](/image/im005696.png)
![](/image/im005697.png)
![](/image/im005551.png)
![](/image/im005698.png)
![](/image/im005665.png)
![](/image/im005699.png)
D'après ce qui précéde, à long terme, le nombre d'abonnés de l'opérateur A va se stabiliser
autour de 380 milliers d'abonnés.